Dans cette leçon, nous allons apprendre à résoudre des inéquations et des systèmes d’équations faisant intervenir les fonctions logarithme et exponentielle. 🧩

Résolution d’inéquations logarithmiques :

Il est crucial de se rappeler que la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[. Cela signifie que :

Pour a > 0 et b > 0, ln(a) < ln(b) ⇔ a < b

Exemple 1 : Résoudre ln(2x – 1) < 3

Conditions d’existence : 2x – 1 > 0 ⇒ x > 1/2

ln(2x – 1) < 3

2x – 1 < e³

Solution :

Exemple 2 : Résoudre ln(x + 2) ≥ ln(4 – x)

Conditions d’existence : x + 2 > 0 ⇒ x > -2 et 4 – x > 0 ⇒ x < 4

Donc x ∈ ]-2; 4[

ln(x + 2) ≥ ln(4 – x)

x + 2 ≥ 4 – x (car ln est croissante)

2x ≥ 2

x ≥ 1

Solution : x ∈ [1; 4[

Résolution d’inéquations exponentielles :

La fonction exponentielle est également strictement croissante sur ℝ, donc :

eᵃ < eᵇ ⇔ a < b

Exemple 3 : Résoudre e³ˣ⁻¹ > 2

e³ˣ⁻¹ > 2

3x – 1 > ln(2)

Résolution de systèmes d’équations :

Exemple 4 : Résoudre le système :

{ ln(x) + ln(y) = 5

{ x × y = 8

D’après la première équation : ln(x) + ln(y) = ln(xy) = 5

Donc xy = e⁵

Mais la deuxième équation donne xy = 8

On a donc e⁵ = 8, ce qui est impossible

Le système n’a pas de solution ❌

Exemple 5 : Résoudre le système :

{ eˣ × eʸ = 20

{ eˣ / eʸ = 5

On simplifie : eˣ × eʸ = eˣ⁺ʸ = 20

eˣ / eʸ = eˣ⁻ʸ = 5

On obtient le système :

{ x + y = ln(20)

{ x – y = ln(5)

En additionnant : 2x = ln(20) + ln(5) = ln(100)

x = ln(100)/2 = ln(10)

En soustrayant : 2y = ln(20) – ln(5) = ln(4)

y = ln(4)/2 = ln(2)

Solution : x = ln(10), y = ln(2) ✅

Inéquations avec changement de variable :

Exemple 6 : Résoudre e²ˣ – 4eˣ – 5 > 0

On pose X = eˣ, l’inéquation devient :

X² – 4X – 5 > 0

Le trinôme s’annule pour X = -1 et X = 5

Comme le coefficient de X² est positif, le trinôme est positif à l’extérieur des racines :

X 5

Mais X = eˣ > 0, donc on garde seulement X > 5

eˣ > 5 ⇒ x > ln(5)

Solution : x ∈ ]ln(5); +∞[

Voici une représentation graphique d’une inéquation exponentielle :

Récapitulatif des méthodes :

• Vérifier toujours les conditions d’existence pour les logarithmes
• Utiliser la croissance des fonctions pour comparer les expressions
• Pour les équations/inéquations complexes, envisager un changement de variable
• Penser à la relation fondamentale entre ln et exp pour simplifier les systèmes

Astuce finale : La fonction ln transforme les produits en sommes, et la fonction exp fait l’inverse. Utilisez cette propriété pour simplifier vos équations ! 🎯