Passons maintenant aux probabilités ! 🎲 Cette leçon va te permettre de quantifier le hasard et de faire des prédictions raisonnées.
📊 Événements et probabilités élémentaires
La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure sa chance de se réaliser.
Formule fondamentale :
![\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} \]](https://kilasy.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-883f87b32015ca1613aa0babc965b174_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exemple : Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 avec un dé équilibré ?
![\[ P(6) = \frac{1}{6} \approx 0,1667 \]](https://kilasy.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcfb6fe94fe5c755556187688e91ac67_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il y a environ 16,67% de chances d’obtenir un 6.
🔗 Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle P(A|B) est la probabilité que l’événement A se réalise sachant que B est déjà réalisé.
Formule importante :
![\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]](https://kilasy.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8867d1f433d2028c93cb7eaac9eeac9e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exemple concret : Dans une classe de 30 élèves, 15 font du football, 12 font de la musique, et 5 font les deux.
- Probabilité qu’un élève fasse de la musique : P(M) = 12/30 = 0,4
- Probabilité qu’un élève fasse du football : P(F) = 15/30 = 0,5
- Probabilité qu’un élève fasse les deux : P(M∩F) = 5/30 ≈ 0,1667
Quelle est la probabilité qu’un élève fasse de la musique sachant qu’il fait du football ?
![\[ P(M|F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} = \frac{5/30}{15/30} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0,333 \]](https://kilasy.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30420c4b08d312fbd4522a0593f96abf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il y a 33,3% de chances qu’un footballeur fasse aussi de la musique ! ⚽🎵
🎯 Indépendance entre événements
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.
Formule de l’indépendance :
![\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]](https://kilasy.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27a0e7d2d8afd93ff9be67f812b9aea6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exemple : On lance un dé et une pièce de monnaie.
- Probabilité d’obtenir 6 au dé : P(6) = 1/6
- Probabilité d’obtenir pile : P(P) = 1/2
- Probabilité d’obtenir 6 ET pile : P(6∩P) = (1/6) × (1/2) = 1/12
Ces événements sont indépendants car le résultat du dé n’influence pas la pièce, et vice-versa.
📈 Formule des probabilités totales
Si les événements B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de l’univers, alors :
![\[ P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + ... + P(A \cap B_n) \]](https://kilasy.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b9dbe73bb02d94e923cde02724b1e630_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ou encore :
![\[ P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n) \]](https://kilasy.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-94d86dba64c837097323e848c39ef7f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Voici une représentation visuelle de cette formule :
💡 Conseil pratique
Pour vérifier si deux événements sont indépendants, calcule P(A∩B) et compare avec P(A)×P(B). Si c’est égal, ils sont indépendants !
