Probabilités et schéma de Bernoulli

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Probabilités, dénombrement et statistiques élémentaires

🎯 Introduction aux Probabilités

Les probabilités nous permettent de quantifier l’incertain. Que ce soit pour prévoir la météo, évaluer des risques ou prendre des décisions, les probabilités sont partout dans notre vie quotidienne. 📊

🔢 Vocabulaire des Probabilités

Expérience aléatoire : Expérience dont on ne peut prévoir le résultat à l’avance
Univers (Ω) : Ensemble de tous les résultats possibles
Événement : Sous-ensemble de l’univers
Événement élémentaire : Événement contenant un seul résultat
Probabilité : Nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’un événement se réalise

📚 Définition et Propriétés

Une probabilité P est une application qui à tout événement A associe un nombre P(A) tel que :

Pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(Ω) = 1
Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

🎨 Représentation par Diagramme de Venn

Voici une représentation visuelle des probabilités :

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🧮 Probabilités dans le Cas Équiprobable

Quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (cas équiprobable) :

$P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$

Exemple : Probabilité d’obtenir un 6 avec un dé équilibré

P(6) = 1/6 ≈ 0,1667

🔍 Probabilités Conditionnelles

La probabilité de A sachant B (notée P(A|B)) est :

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Exemple : Dans une classe, 60% des élèves sont des filles, et 30% des élèves sont des filles et portent des lunettes. Quelle est la probabilité qu’une fille porte des lunettes ?

P(lunettes|fille) = P(fille ∩ lunettes)/P(fille) = 0,30/0,60 = 0,50

📊 Indépendance

Deux événements A et B sont indépendants si :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Ce qui équivaut à P(A|B) = P(A)

⚡ Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, où chaque épreuve a deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité q = 1 – p).

La probabilité d’obtenir exactement k succès est :

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

🎨 Représentation du Schéma de Bernoulli

Voici un arbre représentant 2 épreuves de Bernoulli :

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📝 Exemple Complet de Schéma de Bernoulli

Problème : On lance 5 fois une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 faces ?

Ici, n = 5, k = 3, p = 0,5

$P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,5)^3 (0,5)^2 = 10 \times 0,125 \times 0,25 = 0,3125$

💡 Applications Concrètes

Contrôle Qualité

Dans une usine, 2% des pièces sont défectueuses. On prélève 20 pièces. Probabilité d’avoir exactement 2 pièces défectueuses ?

n = 20, k = 2, p = 0,02

P(X = 2) = C₂₀² × (0,02)² × (0,98)¹⁸ ≈ 0,0528

Sondage

60% des électeurs soutiennent un candidat. On interroge 10 personnes. Probabilité qu’au moins 8 le soutiennent ?

P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

= C₁₀⁸(0,6)⁸(0,4)² + C₁₀⁹(0,6)⁹(0,4)¹ + C₁₀¹⁰(0,6)¹⁰(0,4)⁰ ≈ 0,1673

🧮 Loi Binomiale

La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p).

Espérance : E(X) = np

Variance : V(X) = np(1 – p)

Exemple : Pour B(10, 0,3) : E(X) = 3, V(X) = 2,1

🎯 Probabilités Total

Si B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de Ω, alors pour tout événement A :

$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$

💡 Exemple de Probabilités Total

Dans une usine, deux machines produisent des pièces :

Machine 1 : 60% de la production, taux de défaut 2%
Machine 2 : 40% de la production, taux de défaut 5%

Probabilité qu’une pièce soit défectueuse :

P(défaut) = 0,60 × 0,02 + 0,40 × 0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032

🎓 Astuce Mnémotechnique

Pour les probabilités conditionnelles : « Sachant B, on se restreint au monde de B » 🧠

Pour la binomiale : « n répétitions, k succès, probabilité p par succès »

Les probabilités nous aident à prendre des décisions éclairées dans l’incertain !