Notion de primitive 📦

Une fonction F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x ∈ I :

Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F + C, où C est une constante réelle.

Primitives usuelles à connaître 🎓

Techniques de calcul intégral 🧰

Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g

Intégration par parties : ∫u’v = uv – ∫uv’

Changement de variable : ∫f(u(x))u'(x)dx = ∫f(u)du

Exemple d’intégration par parties 🔍

Calculons ∫x e^x dx

On pose u'(x) = e^x ⇒ u(x) = e^x et v(x) = x ⇒ v'(x) = 1 ∫x e^x dx = x e^x – ∫e^x dx = x e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C

Primitives et équations différentielles 📝

Résoudre y’ = f(x) revient à trouver les primitives de f.

Pour l’équation y’ = 2x, les solutions sont y = x² + C Si on ajoute une condition initiale y(0) = 1, alors C = 1, donc y = x² + 1

Application au calcul d’aires 📐

L’intégrale ∫_a^b f(x) dx représente l’aire entre la courbe de f et l’axe des abscisses sur [a,b].

Astuce mnémotechnique 💡

« Dériver, c’est facile, intégrer c’est un art ! Pour les primitives, pensez à la dérivée et remontez le temps. »