Équations de plans et positions relatives

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Géométrie dans l’espace

Les différentes équations d’un plan 📏

Un plan dans l’espace peut être défini de plusieurs manières.

La plus courante est l’équation cartésienne : $ax + by + cz + d = 0$ où a, b, c sont les coordonnées d’un vecteur normal $\vec{n} = (a, b, c)$ au plan.

Un plan peut aussi être défini par un point A(x₀, y₀, z₀) et deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires.

Son équation paramétrique est alors : $\begin{cases} x = x_0 + t \times u_x + s \times v_x \\ y = y_0 + t \times u_y + s \times v_y \\ z = z_0 + t \times u_z + s \times v_z \end{cases}$ avec t et s paramètres réels.

Exemple de détermination d’équation de plan 🎯

Soit un plan P passant par les points A(1, 0, 2), B(2, 1, 1) et C(0, 1, 3). Pour trouver son équation cartésienne :

Calculer deux vecteurs directeurs : $\vec{AB} = (1, 1, -1)$ et $\vec{AC} = (-1, 1, 1)$
Calculer leur produit vectoriel pour obtenir un vecteur normal :

$\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2, 0, 2)$

3. L’équation du plan est donc : 2(x – 1) + 0(y – 0) + 2(z – 2) = 0, soit 2x + 2z – 6 = 0 ou x + z – 3 = 0.

Positions relatives de deux plans 🔀

Deux plans peuvent être :

Parallèles strictement : aucun point commun, vecteurs normaux colinéaires
Confondus : tous points communs, mêmes équations
Sécants : intersection selon une droite

Soient deux plans d’équations : P₁: a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 et P₂: a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0. Ils sont parallèles si : $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \neq \frac{d_1}{d_2}$

Ils sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

Représentation graphique de plans 📊

Voici une représentation de deux plans sécants :

Rendered by QuickLaTeX.com

Distance d’un point à un plan 📐

La distance d’un point M(x₀, y₀, z₀) à un plan P: ax + by + cz + d = 0 est donnée par : $d(M, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Exemple : Distance du point M(1, 2, 3) au plan P: 2x – y + 2z – 4 = 0 : $d(M, P) = \frac{|2\times1 + (-1)\times2 + 2\times3 - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 4|}{3} = \frac{2}{3}$

Astuce mnémotechnique 🧠

Pour retenir la formule de distance point-plan : « Valeur absolue sur racine carrée, la distance est toujours bien calculée! ».