Dérivabilité et calcul de dérivées

Analyse des fonctions

La dérivée : taux d’accroissement 📈

La dérivée d’une fonction f en un point a mesure le taux de variation instantané de f en ce point.

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Si cette limite existe, f est dérivable en a.

Voici les dérivées fondamentales à connaître :

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

Somme : (u + v)’ = u’ + v’

Produit : (uv)’ = u’v + uv’

Quotient : (u/v)’ = (u’v – uv’)/v²

Composée : (f∘g)'(x) = f'(g(x)) × g'(x)

Dérivons f(x) = (3x² + 2)e^x

On utilise la règle du produit :

u(x) = 3x² + 2 ⇒ u'(x) = 6x

v(x) = e^x ⇒ v'(x) = e^x

Donc f'(x) = u’v + uv’ = 6xe^x + (3x² + 2)e^x = e^x(3x² + 6x + 2)

La dérivée f'(a) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.

Équation de la tangente : y = f'(a)(x – a) + f(a)

Pour retenir la dérivée d’un quotient : « Dérivée du haut fois le bas moins le haut fois dérivée du bas, sur le bas carré ! »