Calcul intégral et interprétations graphiques

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Primitives, intégrales et applications

🎯 L’Intégrale de Riemann

L’intégrale est un outil puissant qui généralise la notion de primitive et permet de calculer des aires, des volumes, et bien d’autres quantités. Elle établit un lien profond entre l’analyse et la géométrie. 📐

🔢 Définition de l’Intégrale

Soit f une fonction continue sur [a,b]. L’intégrale de f de a à b est définie par :

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

où F est une primitive de f. On note aussi [F(x)]_a^b = F(b) – F(a)

📚 Propriétés Fondamentales

Linéarité : ∫_a^b (αf(x) + βg(x)) dx = α∫_a^b f(x) dx + β∫_a^b g(x) dx
Relation de Chasles : ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx
Positivité : Si f ≥ 0 sur [a,b], alors ∫_a^b f(x) dx ≥ 0
Valeur absolue : |∫_a^b f(x) dx| ≤ ∫_a^b |f(x)| dx

🎨 Interprétation Graphique de l’Intégrale

L’intégrale représente l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses :

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🧮 Techniques de Calcul Intégral

Intégration par Parties

Si u et v sont dérivables sur [a,b] :

$\int_a^b u(x)v'(x) \, dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx$

Exemple : ∫₀¹ x e^x dx

On pose u(x) = x ⇒ u'(x) = 1

v'(x) = e^x ⇒ v(x) = e^x

∫₀¹ x e^x dx = [x e^x]₀¹ – ∫₀¹ e^x dx = (1×e – 0) – [e^x]₀¹ = e – (e – 1) = 1

Changement de Variable

Si φ est dérivable et strictement monotone sur [α,β] avec φ(α) = a et φ(β) = b :

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt$

📝 Exemple de Changement de Variable

Calculer : ∫₀¹ x√(1 – x²) dx

On pose u = 1 – x² ⇒ du = -2x dx ⇒ x dx = -du/2

Quand x = 0, u = 1

Quand x = 1, u = 0

∫₀¹ x√(1 – x²) dx = ∫₁⁰ √u × (-du/2) = ½ ∫₀¹ u^1/2 du

= ½ × [⅔ u^3/2]₀¹ = ½ × ⅔ = ⅓

🔍 Intégrales et Symétries

Fonctions Paires

Si f est paire (f(-x) = f(x)) :

$\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$

Fonctions Impaires

Si f est impaire (f(-x) = -f(x)) :

$\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$

💡 Application : Calcul d’Aire Entre Deux Courbes

L’aire entre deux courbes y = f(x) et y = g(x) sur [a,b] est :

$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$

Exemple : Aire entre y = x² et y = x sur [0,1]

Sur [0,1], x ≥ x², donc :

A = ∫₀¹ (x – x²) dx = [½ x² – ⅓ x³]₀¹ = ½ – ⅓ = ⅙

🎨 Visualisation de l’Intégrale Double

Voici l’aire entre deux courbes :

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🧩 Intégrales Impropres

Pour les intégrales sur des intervalles non bornés :

$\int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Exemple : ∫₁^∞ 1/x² dx

= lim_b→∞ ∫₁^b 1/x² dx = lim_b→∞ [-1/x]₁^b = lim_b→∞ (1 – 1/b) = 1

🎓 Astuce Mnémotechnique

Pour l’intégration par parties : « u v moins intégrale de u’ v » 🧠

Pour les aires : « Intégrale de |f-g| = aire entre les courbes »

L’intégrale est un outil géométrique aussi puissant que le sont les primitives en analyse !