Suites arithmétiques et géométriques

Suites Numériques

🎯 Les Deux Familles de Suites Fondamentales

Les suites arithmétiques et géométriques sont les suites les plus courantes et les plus utiles en mathématiques.

Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison et noté r.

Définition : uₙ₊₁ = uₙ + r

Formule explicite : uₙ = u₀ + n×r

Somme des n premiers termes :

$S_n = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = n \times \frac{u_0 + u_{n-1}}{2}$

Exemple : Suite des nombres pairs : 0, 2, 4, 6, 8, …

u₀ = 0, r = 2, uₙ = 2n

Somme des 5 premiers termes : S₅ = 5×(0+8)/2 = 20

Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé raison et noté q.

Définition : uₙ₊₁ = uₙ × q

Formule explicite : uₙ = u₀ × qⁿ

Somme des n premiers termes :

$S_n = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$ (si q ≠ 1)

Exemple : Suite des puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, …

u₀ = 1, q = 2, uₙ = 2ⁿ

Somme des 4 premiers termes : S₄ = 1×(1-2⁴)/(1-2) = 15

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Suite arithmétique : Évolution linéaire

Suite géométrique : Évolution exponentielle

Situation : Vous placez 1000€ à 3% d’intérêt annuel.

Le capital suit une suite géométrique :

u₀ = 1000, q = 1.03

uₙ = 1000 × 1.03ⁿ

Au bout de 10 ans : u₁₀ = 1000 × 1.03¹⁰ ≈ 1343.92€

Test arithmétique : Calculer uₙ₊₁ – uₙ

Si constant → suite arithmétique

Test géométrique : Calculer uₙ₊₁/uₙ

Si constant → suite géométrique

« Arithmétique = Addition Répétée, Géométrique = Grandissement Multiplicatif » 🎯

« Arithmétique → droite, Géométrique → courbe » pour les représentations graphiques

Ne pas confondre raison arithmétique (addition) et raison géométrique (multiplication)
Vérifier que q ≠ 1 pour la formule de somme géométrique
Bien identifier le premier terme (u₀ ou u₁ selon le contexte)