Raisonnement par récurrence

Suites Numériques

🎯 Le Principe de Récurrence

Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration puissante qui permet de prouver qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

📝 Les Trois Étapes Clés

1. Initialisation : On vérifie que P(0) est vraie (ou P(n₀) selon le contexte)

2. Hérédité : On démontre que si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie

3. Conclusion : Par principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n

🔍 Exemple Classique : Somme des n Premiers Entiers

Démontrons que : 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

Initialisation : Pour n=1, 1 = 1×2/2 = 1 ✓

Hérédité : Supposons que pour un certain n, on ait :

$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Montrons que :

$1 + 2 + ... + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

On part du membre de gauche :

$(1 + 2 + ... + n) + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$

$= (n+1)(\frac{n}{2} + 1) = (n+1)\frac{n+2}{2}$

Ce qui donne bien le membre de droite ! ✓

Conclusion : La formule est vraie pour tout n ≥ 1.

🎯 Autre Exemple Important : Inégalité de Bernoulli

Démontrons que pour tout x ≥ -1 et tout n ∈ ℕ :

$(1 + x)^n \geq 1 + nx$

Initialisation : Pour n=0, (1+x)⁰ = 1 ≥ 1 ✓

Hérédité : Supposons (1+x)ⁿ ≥ 1+nx

Alors (1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)ⁿ(1+x) ≥ (1+nx)(1+x)

$= 1 + (n+1)x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x$ car nx² ≥ 0

Conclusion : L’inégalité est vraie pour tout n.

📊 Représentation du Principe de Récurrence

Rendered by QuickLaTeX.com

⚠️ Pièces à Éviter

Oublier l’initialisation : La récurrence doit démarrer quelque part !
Mauvaise hypothèse de récurrence : Bien préciser ce qu’on suppose
Saut dans l’hérédité : Le passage de n à n+1 doit être rigoureux

💡 Astuce Mnémotechnique

« Récurrence = Vérifier le Premier, Prouver le Suivant, Conclure pour Tous » 🎯

Pensez à un effet domino : si le premier domino tombe (initialisation) et si chaque domino fait tomber le suivant (hérédité), alors tous les dominos tombent !