Limites de suites et convergence

Suites Numériques

🎯 Introduction aux Limites

La notion de limite est fondamentale en analyse. Elle décrit le comportement d’une suite lorsque l’indice n devient très grand (tend vers l’infini).

📈 Convergence et Divergence

Une suite (uₙ) converge vers un réel L si, pour n suffisamment grand, uₙ se rapproche arbitrairement de L. On note :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = L$

Si une suite ne converge vers aucun réel, elle est dite divergente.

🎯 Les Différents Types de Limites

Limite finie : La suite converge vers un nombre réel

Limite infinie : La suite tend vers +∞ ou -∞

Pas de limite : La suite n’a pas de comportement asymptotique défini

📝 Exemples Fondamentaux

Suite convergente : uₙ = 1/n

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

Suite divergente vers +∞ : uₙ = n²

$\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$

Suite sans limite : uₙ = (-1)ⁿ

Cette suite alterne entre -1 et 1, donc n’a pas de limite.

🔍 Théorèmes Importants

Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Théorème des gendarmes : Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et si vₙ et wₙ convergent vers la même limite L, alors uₙ converge aussi vers L.

📊 Représentation Graphique de la Convergence

Rendered by QuickLaTeX.com

🧮 Méthodes de Calcul des Limites

1. Factorisation : Pour les formes indéterminées ∞-∞

Exemple : uₙ = n² – n

$u_n = n(n-1) \to +\infty$

2. Division par le terme dominant : Pour les quotients

Exemple : uₙ = (2n² + 3n)/(n² + 1)

$u_n = \frac{2 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}} \to 2$

💡 Astuce Mnémotechnique

« Convergence = Comportement Vers une Référence Attractive » – Une suite converge quand elle se stabilise autour d’une valeur précise 🎯