Définition, suites monotones et bornées

Suites Numériques

🎯 Introduction aux Suites Numériques

Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels (ou une partie de celui-ci) et à valeurs dans les réels. On la note généralement (uₙ) où n est l’indice.

📝 Les Différentes Définitions

Il existe deux principales manières de définir une suite :

Définition explicite : uₙ = f(n) où f est une fonction
Définition par récurrence : uₙ₊₁ = f(uₙ) avec u₀ donné

Exemple de suite définie explicitement :

$u_n = 2n + 3$

Exemple de suite définie par récurrence :

$u_{n+1} = 2u_n + 1$ avec $u_0 = 1$

📈 Suites Monotones

Une suite est dite monotone si elle est toujours croissante ou toujours décroissante.

Suite croissante : Pour tout n, uₙ₊₁ ≥ uₙ

Suite décroissante : Pour tout n, uₙ₊₁ ≤ uₙ

Pour étudier la monotonie, on peut calculer la différence uₙ₊₁ – uₙ ou étudier le signe de la dérivée si la suite est définie explicitement.

Exemple : Étudions la monotonie de uₙ = n²

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1 > 0$ pour tout n ≥ 0

Donc la suite est strictement croissante 📈

🎯 Suites Bornées

Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Majorée : Il existe M tel que uₙ ≤ M pour tout n

Minorée : Il existe m tel que uₙ ≥ m pour tout n

Exemple : La suite uₙ = (-1)ⁿ/n est bornée car :

$-1 \leq u_n \leq 1$ pour tout n ≥ 1

📊 Représentation Graphique

Voici une représentation d’une suite croissante et bornée :

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💡 Astuce Mnémotechnique

Pour retenir les définitions : « Monotone = Même Ordre Notoire, Bornée = Entre Deux Barrières » 🎯