Fonction exponentielle et équations associées

Fonctions logarithme et exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp ou eˣ, est la fonction réciproque du logarithme népérien. C’est une fonction fondamentale qui modélise de nombreux phénomènes naturels. 🌱

La fonction exponentielle est définie sur ℝ et à valeurs dans ]0;+∞[. Pour tout nombre réel x, on a :

$\exp(x) = e^x$

La relation fondamentale entre exponentielle et logarithme est :

$\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln(x)} = x$

Voici les propriétés algébriques de la fonction exponentielle :

e⁰ = 1
e¹ = e ≈ 2,71828
eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ
eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇ
(eᵃ)ᵇ = eᵃᵇ

La dérivée de la fonction exponentielle est remarquable :

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$

C’est la seule fonction (à un coefficient multiplicatif près) qui est égale à sa propre dérivée ! ✨

Voici le graphique de la fonction exponentielle :

Rendered by QuickLaTeX.com

Résolution d’équations exponentielles :

Exemple 1 : Résoudre e²ˣ = 7

On applique le logarithme népérien aux deux membres :

ln(e²ˣ) = ln(7)

2x = ln(7)

$x = \frac{\ln(7)}{2}$

Exemple 2 : Résoudre 3eˣ – 5 = 0

3eˣ = 5

$e^x = \frac{5}{3}$

$x = \ln\left(\frac{5}{3}\right)$

Équations plus complexes :

Exemple 3 : Résoudre e²ˣ – 3eˣ + 2 = 0

On pose X = eˣ, l’équation devient :

X² – 3X + 2 = 0

Le discriminant est Δ = 9 – 8 = 1

Les solutions sont X₁ = 1 et X₂ = 2

Donc eˣ = 1 ⇒ x = 0

et eˣ = 2 ⇒ x = ln(2)

Application concrète : La croissance d’une population bactérienne peut être modélisée par P(t) = P₀ × eᵏᵗ, où P₀ est la population initiale et k le taux de croissance. 🦠

Astuce : Pour résoudre une équation exponentielle, isolez d’abord le terme exponentiel, puis appliquez le logarithme népérien ! 🔍