Le coefficient de corrélation est une mesure statistique qui quantifie l’intensité et le sens de la relation linéaire entre deux variables quantitatives. Il nous indique à quel point les variables évoluent ensemble.

Définition du coefficient de corrélation linéaire

Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson, noté r, varie entre -1 et +1 :

• r = +1 : corrélation positive parfaite
• r = -1 : corrélation négative parfaite
• r = 0 : absence de corrélation linéaire

Calcul du coefficient r 🧮

Formule de Pearson

Le coefficient de corrélation se calcule avec la formule :

\[r = \frac{\sum{(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i – \bar{x})^2} \times \sum{(y_i – \bar{y})^2}}}\]

Cette formule peut sembler complexe, mais elle se décompose en étapes simples.

Exemple détaillé 📋

Reprenons nos données sur les heures d’étude et les notes :

Étape 1 : Calcul de la covariance

\[\text{cov}(x,y) = \frac{\sum{(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}}{n} = \frac{48}{5} = 9,6\]

Étape 2 : Calcul des écarts-types

\[\sigma_x = \sqrt{\frac{\sum{(x_i – \bar{x})^2}}{n}} = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2,83\]

\[\sigma_y = \sqrt{\frac{\sum{(y_i – \bar{y})^2}}{n}} = \sqrt{\frac{59,2}{5}} = \sqrt{11,84} \approx 3,44\]

Étape 3 : Calcul de r

\[r = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sigma_x \times \sigma_y} = \frac{9,6}{2,83 \times 3,44} \approx 0,985\]

Nous obtenons un coefficient de corrélation très proche de 1, indiquant une forte corrélation positive.

Interprétation des valeurs de r 🔍

Échelle d’interprétation

• 0,9 ≤ |r| ≤ 1,0 : corrélation très forte
• 0,7 ≤ |r| < 0,9 : corrélation forte
• 0,5 ≤ |r| < 0,7 : corrélation modérée
• 0,3 ≤ |r| < 0,5 : corrélation faible
• 0,0 ≤ |r| < 0,3 : corrélation très faible ou nulle

Signification du signe

Le signe de r indique le sens de la relation :

• r > 0 : les variables varient dans le même sens
• r < 0 : les variables varient en sens opposé

Représentations graphiques selon r 📊

Voici différents nuages de points selon la valeur de r :

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=8cm, height=6cm,
title={r ≈ 1 (forte positive)},
xmin=0, xmax=10, ymin=0, ymax=10
]
\addplot[only marks, blue] coordinates {
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5)
(6,6) (7,7) (8,8) (9,9)
};
\addplot[domain=0:10, red] {x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=8cm, height=6cm,
title={r ≈ -1 (forte négative)},
xmin=0, xmax=10, ymin=0, ymax=10
]
\addplot[only marks, blue] coordinates {
(1,9) (2,8) (3,7) (4,6) (5,5)
(6,4) (7,3) (8,2) (9,1)
};
\addplot[domain=0:10, red] {10-x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=8cm, height=6cm,
title={r ≈ 0 (aucune corrélation)},
xmin=0, xmax=10, ymin=0, ymax=10
]
\addplot[only marks, blue] coordinates {
(1,5) (3,8) (5,2) (7,6) (9,4)
(2,7) (4,3) (6,9) (8,1)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

Corrélation vs causalité ⚠️

Attention aux interprétations abusives !

Une erreur fréquente est de confondre corrélation et causalité :

• Corrélation : les variables varient ensemble
• Causalité : une variable cause la variation de l’autre

Exemple classique 🍦

Il existe une forte corrélation positive entre les ventes de glaces et le nombre de noyades. Cela ne signifie pas que manger des glaces cause des noyades ! Les deux phénomènes sont causés par une troisième variable : la chaleur estivale.

Coefficient de détermination R² 📐

Définition et calcul

Le coefficient de détermination R² est le carré du coefficient de corrélation :

\[R^2 = r^2\]

Dans notre exemple :

\[R^2 = (0,985)^2 \approx 0,97\]

Interprétation de R²

R² représente la proportion de variance de y expliquée par x. Dans notre cas, 97% de la variation des notes est expliquée par le temps d’étude.

C’est un indicateur très utile pour évaluer la qualité d’un modèle de régression.

Applications pratiques 🌍

Domaines d’utilisation

• Recherche médicale : relation entre traitement et guérison
• Finance : corrélation entre actions
• Météorologie : relation température/vent
• Éducation : corrélation présence/réussite

Cas d’étude en psychologie 🧠

Une étude cherche à déterminer s’il existe une corrélation entre le temps passé sur les réseaux sociaux et le niveau de stress.

Données collectées :

• r = 0,72 (corrélation forte positive)
• R² = 0,52 (52% de la variance du stress expliquée)

Interprétation : il existe une relation significative, mais d’autres facteurs influencent aussi le stress.

Limites et précautions 🚨

Points importants à retenir

• La corrélation ne prouve pas la causalité
• Elle mesure seulement les relations linéaires
• Elle est sensible aux valeurs aberrantes
• La taille de l’échantillon influence la significativité

Test de significativité

Pour des échantillons de taille n, on peut tester si r est significativement différent de 0. En général, pour n ≥ 30, un |r| ≥ 0,35 est considéré comme significatif.

Récapitulatif mnémotechnique 🧠

r = +1 : parfaitement aligné ↗️

r = -1 : parfaitement opposé ↘️

r = 0 : pas de relation linéaire ➡️

R² = part expliquée de la variance

Pensez à r comme rapport et R² comme Rendement du modèle !