La dynamique des particules chargées est un domaine fascinant de la physique qui étudie comment les particules électriquement chargées se déplacent sous l’influence de champs électriques et magnétiques. ⚡ Dans cette première leçon, nous allons nous concentrer sur le mouvement dans un champ électrostatique uniforme.

Force électrostatique : Une particule de charge q placée dans un champ électrique $\vec{E}$ subit une force donnée par :

\[
\vec{F} = q \vec{E}
\]

Cette force fondamentale, appelée force de Coulomb, a plusieurs caractéristiques importantes :

• Elle est parallèle au champ électrique si q > 0
• Elle est opposée au champ électrique si q < 0
• Elle est proportionnelle à la charge q
• Elle est indépendante de la vitesse de la particule

Représentation des forces sur des particules chargées :

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\foreach \y in {0,1,2,3} {
\draw[->, blue, thick] (0,\y) — (2,\y);
}
\node at (1,3.5) {$\vec{E}$};
\draw[fill=red] (1,1.5) circle (0.1);
\draw[->, red, thick] (1,1.5) — (2,1.5) node[anchor=west] {$\vec{F}$ ($q>0$)};
\draw[fill=green] (1,0.5) circle (0.1);
\draw[->, green, thick] (1,0.5) — (0,0.5) node[anchor=east] {$\vec{F}$ ($q<0$)};
\node at (3,2) {Champ électrique uniforme};
\end{tikzpicture}

Principe fondamental de la dynamique : Appliquons la deuxième loi de Newton à une particule de masse m :

\[
\vec{F} = m \vec{a}
\]

\[
q \vec{E} = m \vec{a}
\]

L’accélération est donc :

\[
\vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E}
\]

Cette équation fondamentale montre que l’accélération est constante dans un champ électrique uniforme !

Application de résolution : Un électron (q = -1,6×10⁻¹⁹ C, m = 9,1×10⁻³¹ kg) est placé dans un champ électrique E = 1000 V/m. Calcule son accélération.

Solution :

\[
a = \frac{|q| E}{m} = \frac{1,6 \times 10^{-19} \times 1000}{9,1 \times 10^{-31}} = 1,76 \times 10^{14} \text{ m/s}^2
\]

Cette accélération est énorme ! C’est pourquoi les électrons atteignent des vitesses très élevées dans les tubes cathodiques.

Cas particuliers selon l’orientation initiale :

Cas 1 : Vitesse initiale parallèle au champ

Si $\vec{v}_0$ est parallèle à $\vec{E}$, le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

Représentation du mouvement parallèle :

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\foreach \y in {0,1,2,3} {
\draw[->, blue, thick] (0,\y) — (3,\y);
}
\node at (1.5,3.5) {$\vec{E}$};
\draw[fill=red] (0.5,1.5) circle (0.08);
\draw[->, red, thick] (0.5,1.5) — (1,1.5) node[anchor=south] {$\vec{v_0}$};
\draw[fill=red] (1.5,1.5) circle (0.08);
\draw[fill=red] (2.5,1.5) circle (0.08);
\draw[->, thick] (0.5,1.5) — (0.5,0.5) node[anchor=east] {Trajectoire};
\end{tikzpicture}

Cas 2 : Vitesse initiale perpendiculaire au champ

Si $\vec{v}_0$ est perpendiculaire à $\vec{E}$, le mouvement est une parabole (comme un projectile dans le champ de pesanteur).

Représentation du mouvement perpendiculaire :

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\foreach \y in {0,1,2,3} {
\draw[->, blue, thick] (0,\y) — (3,\y);
}
\node at (1.5,3.5) {$\vec{E}$};
\draw[fill=red] (0.5,1.5) circle (0.08);
\draw[->, red, thick] (0.5,1.5) — (1.5,1.5) node[anchor=south] {$\vec{v_0}$};
\draw[thick, smooth] plot coordinates {(0.5,1.5) (1,1.8) (1.5,2.2) (2,2.7) (2.5,3.3)};
\draw[fill=red] (2.5,3.3) circle (0.08);
\end{tikzpicture}

Application de résolution : Un proton (q = +1,6×10⁻¹⁹ C, m = 1,67×10⁻²⁷ kg) entre dans un champ E = 5000 V/m avec une vitesse initiale v₀ = 2×10⁶ m/s perpendiculaire au champ. La longueur des plaques est L = 0,1 m. Calcule la déviation verticale en sortie des plaques.

Solution : Accélération verticale :

\[
a_y = \frac{q E}{m} = \frac{1,6 \times 10^{-19} \times 5000}{1,67 \times 10^{-27}} = 4,79 \times 10^{11} \text{ m/s}^2
\]

Temps de traversée :

\[
t = \frac{L}{v_0} = \frac{0,1}{2 \times 10^6} = 5 \times 10^{-8} \text{ s}
\]

Déviation :

\[
y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \times 4,79 \times 10^{11} \times (5 \times 10^{-8})^2 = 0,0006 \text{ m} = 0,6 \text{ mm}
\]

Énergie et potentiel : Le travail de la force électrique entre deux points A et B est :

\[
W_{AB} = q (V_A – V_B) = q U_{AB}
\]

Ce travail est égal à la variation d’énergie cinétique :

\[
\frac{1}{2} m v_B^2 – \frac{1}{2} m v_A^2 = q U_{AB}
\]

Application de résolution : Un électron est accéléré par une tension U = 1000 V. Calcule sa vitesse finale.

Solution :

\[
\frac{1}{2} m v^2 = e U
\]

\[
v = \sqrt{\frac{2 e U}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1,6 \times 10^{-19} \times 1000}{9,1 \times 10^{-31}}} = 1,87 \times 10^7 \text{ m/s}
\]

Cette vitesse représente environ 6% de la vitesse de la lumière !

Importance des applications : La compréhension du mouvement des particules chargées est cruciale pour :

• Les tubes cathodiques (anciens téléviseurs)
• Les oscilloscopes
• Les accélérateurs de particules
• Les spectromètres de masse

Astuce mnémotechnique : Pour retenir le sens de la force, pensez à « Les positives poussent, les négatives tirent » – les charges positives sont poussées dans le sens du champ, les négatives en sens contraire ! 🔄

Récapitulatif : Une particule chargée dans un champ électrique uniforme subit une accélération constante. Si la vitesse initiale est parallèle au champ, le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Si elle est perpendiculaire, la trajectoire est parabolique.