Calcul de la vitesse et de la période orbitale

Sciences Physiques

Le calcul des paramètres orbitaux est essentiel pour concevoir et contrôler les missions spatiales. 🚀 Dans cette leçon, nous allons maîtriser les formules qui permettent de déterminer la vitesse, la période, et les autres caractéristiques importantes des orbites satellitaires.

Vitesse orbitale : Nous avons déjà établi la formule fondamentale pour la vitesse orbitale circulaire :

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

où :

v est la vitesse orbitale
G est la constante de gravitation
M est la masse du corps central
r est le rayon orbital (distance centre à centre)

Période orbitale : La période orbitale T est le temps mis par le satellite pour effectuer un tour complet autour de la planète. Pour un mouvement circulaire uniforme :

$T = \frac{2\pi r}{v}$

En remplaçant v par son expression, on obtient la troisième loi de Kepler pour les orbites circulaires :

$T^2 = \frac{4\pi^2}{G M} r^3$

Cette loi remarquable nous dit que le carré de la période est proportionnel au cube du rayon orbital.

Représentation graphique de la troisième loi de Kepler :

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Application de résolution complète : Calcule la vitesse et la période d’un satellite géostationnaire.

Données : M_T = 5,97×10²⁴ kg, R_T = 6,37×10⁶ m

Altitude géostationnaire : h = 35 786 km = 3,5786×10⁷ m

Solution : Rayon orbital r = R_T + h = 4,216×10⁷ m

Vitesse orbitale :

$v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \times 5,97 \times 10^{24}}{4,216 \times 10^7}}$

$v = \sqrt{9,45 \times 10^6} = 3,07 \times 10^3 \text{ m/s} = 3,07 \text{ km/s}$

Période orbitale :

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \times 4,216 \times 10^7}{3,07 \times 10^3} = 86\ 164 \text{ s} = 23\text{ h } 56\text{ min}$

On retrouve bien la période d’un jour sidéral !

Formules pratiques pour la Terre : Pour les calculs rapides autour de la Terre, on peut utiliser :

$v (\text{km/s}) = \sqrt{\frac{398600}{r (\text{km})}}$

$T (\text{min}) = 2\pi \sqrt{\frac{r (\text{km})^3}{398600}} \times \frac{1}{60}$

où 398600 km³/s² est le paramètre gravitationnel standard de la Terre (G×M_T).

Application de résolution : La Station Spatiale Internationale orbite à 400 km d’altitude. Calcule sa période orbitale.

Solution : r = 6370 + 400 = 6770 km

$T = 2\pi \sqrt{\frac{6770^3}{398600}} \times \frac{1}{60} = 2\pi \sqrt{\frac{3,10 \times 10^{11}}{398600}} \times \frac{1}{60}$

$T = 2\pi \sqrt{7,78 \times 10^5} \times \frac{1}{60} = 2\pi \times 882 \times \frac{1}{60} = 92,4 \text{ min}$

Représentation des vitesses orbitales en fonction de l’altitude :

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Orbite de transfert de Hohmann : Pour passer d’une orbite basse à une orbite haute, on utilise souvent une orbite de transfert elliptique de Hohmann. C’est la méthode la plus économique en carburant.

Représentation d’une orbite de transfert :

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Application avancée : Un satellite doit passer d’une orbite circulaire à 300 km d’altitude à une orbite à 1000 km. Calcule les vitesses nécessaires aux manœuvres.

Solution : Rayons orbitaux :

r₁ = 6370 + 300 = 6670 km

r₂ = 6370 + 1000 = 7370 km

Demi-grand axe de l’ellipse de transfert : a = (r₁ + r₂)/2 = 7020 km

Vitesse sur l’orbite basse : v₁ = √(398600/6670) = 7,73 km/s

Vitesse au périgée de l’ellipse : v_p = √[398600×(2/6670 – 1/7020)] = 7,84 km/s

Δv₁ = 7,84 – 7,73 = 0,11 km/s pour quitter l’orbite basse

Satellites et référentiels : Dans l’étude des satellites, on utilise généralement le référentiel géocentrique, considéré comme galiléen pour des durées courtes.

Influence des perturbations : En réalité, les orbites ne sont pas parfaitement circulaires à cause de :

L’aplatissement de la Terre
L’attraction lunaire et solaire
La pression de radiation
La traînée atmosphérique (pour les orbites basses)

Applications concrètes :

GPS : constellation de 24 satellites en orbite moyenne à 20200 km
Satellites météo : souvent en orbite géostationnaire
Télécommunications : mélange d’orbites basses et géostationnaires
Observation terrestre : orbites basses polaires

Astuce mnémotechnique : Pour la troisième loi de Kepler, souvenez-vous que « T² et r³ sont copains » – quand l’un augmente, l’autre augmente aussi, mais pas de la même façon ! 📊

Récapitulatif : La vitesse orbitale varie comme 1/√r tandis que la période varie comme r^(3/2). La troisième loi de Kepler (T² ∝ r³) est fondamentale pour relier période et rayon orbital. Ces relations permettent de concevoir et contrôler toutes les missions spatiales.