Les probabilités sont une branche des mathématiques qui étudie les phénomènes aléatoires. Elles nous permettent de quantifier l’incertitude et de faire des prévisions éclairées. 📊

Imaginez que vous lancez un dé : vous ne savez pas exactement quel nombre va apparaître, mais les probabilités vous donnent des informations précieuses sur les chances de chaque résultat.

🔢 Vocabulaire essentiel

Expérience aléatoire : Une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avec certitude à l’avance.

Issue : Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire.

Univers : L’ensemble de toutes les issues possibles, noté Ω.

Événement : Une partie de l’univers, c’est-à-dire un ensemble d’issues.

📐 Probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement A, notée P(A), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que cet événement se produise.

P(A) = 0 : L’événement est impossible

P(A) = 1 : L’événement est certain

🎲 Exemple concret : Lancer d’un dé

Considérons l’expérience : « Lancer un dé équilibré à 6 faces »

Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Événement A : « Obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6}

Événement B : « Obtenir un 6 » = {6}

Événement C : « Obtenir un 7 » = {} (événement impossible)

🧮 Calcul des probabilités

Dans le cas d’équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance), la probabilité se calcule par :

Reprenons notre exemple du dé :

P(A) = P(« obtenir un pair ») = 3/6 = 0,5

P(B) = P(« obtenir un 6 ») = 1/6 ≈ 0,167

P(C) = P(« obtenir un 7 ») = 0/6 = 0

🔗 Opérations sur les événements

Événement contraire : L’événement « non A » se note Ā

Union : A ∪ B (A ou B ou les deux)

Intersection : A ∩ B (A et B simultanément)

📊 Représentation graphique avec diagramme de Venn

💡 Propriétés importantes

Additivité : Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), alors :

Formule générale : Pour tous événements A et B :

🎯 Exemple résolu

Problème : Dans une classe de 30 élèves, 15 étudient l’anglais, 12 étudient l’espagnol, et 5 étudient les deux langues. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu’il étudie au moins une de ces langues ?

Solution :

Soit A : « étudie l’anglais », B : « étudie l’espagnol »

P(A) = 15/30 = 0,5

P(B) = 12/30 = 0,4

P(A ∩ B) = 5/30 ≈ 0,167

P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4 – 0,167 = 0,733

🌟 Astuce mnémotechnique

Pour retenir la formule de l’union : « Additionnez tout, puis soustrayez ce qui est compté double » 🧠

Cette première leçon pose les bases essentielles pour aborder les concepts plus avancés des probabilités. Maîtrisez bien ces notions avant de passer à la suite !