Passons maintenant aux choses sérieuses ! 🎪 Dans cette leçon, nous allons étudier les événements composés, c’est-à-dire des expériences qui comportent plusieurs étapes. La grande question : avec ou sans remise ?
🔄 Tirage avec remise
Dans un tirage avec remise, après avoir tiré un élément, on le remet dans l’urne avant de tirer le suivant. Les différents tirages sont indépendants.
Exemple : On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, on mélange, et on tire une deuxième boule.
Caractéristique : La composition de l’urne reste la même à chaque tirage.
🚫 Tirage sans remise
Dans un tirage sans remise, on ne remet pas l’élément tiré. Les tirages sont dépendants.
Exemple : On tire une boule, on note sa couleur, on la garde aside, et on tire une deuxième boule.
Caractéristique : La composition de l’urne change après chaque tirage.
🌳 La méthode des arbres pondérés
L’arbre pondéré est un outil fantastique pour visualiser et résoudre les problèmes de probabilités composées !
Règles de construction :
- Chaque branche représente un résultat possible
- Sur chaque branche, on note la probabilité de l’événement
- La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches
Exemple concret : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire successivement 2 boules.
Cas 1 : Avec remise
Probabilité d’obtenir deux boules rouges :
\[P(RR) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\]
Cas 2 : Sans remise
Probabilité d’obtenir deux boules rouges :
\[P(RR) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\]
📝 Méthode de résolution complète
Étapes à suivre :
- Identifier si c’est un tirage avec ou sans remise
- Construire l’arbre pondéré
- Noter les probabilités sur chaque branche
- Multiplier les probabilités le long du chemin qui nous intéresse
Exercice guidé : Dans une classe de 30 élèves (18 filles et 12 garçons), on choisit au hasard successivement 2 élèves sans remise. Quelle est la probabilité de choisir deux filles ?
Solution :
Premier tirage : \[P(F_1) = \frac{18}{30}\]
Deuxième tirage (sans remise) : \[P(F_2|F_1) = \frac{17}{29}\]
Probabilité totale : \[P(F_1 \cap F_2) = \frac{18}{30} \times \frac{17}{29} = \frac{306}{870} = \frac{51}{145}\]
🔍 Attention : Ne confonds pas « avec remise » (indépendant) et « sans remise » (dépendant) ! C’est la différence fondamentale de cette leçon.
🎉 Récapitulatif : Tu maîtrises maintenant les tirages avec et sans remise ! L’arbre pondéré est ton meilleur ami pour ces situations. Souviens-toi : avec remise = probabilités constantes, sans remise = probabilités qui changent.
