Dernière ligne droite ! 🏁 Dans cette leçon, nous allons découvrir les formules magiques qui te permettront de calculer les probabilités d’union et d’intersection d’événements. Ces outils sont indispensables pour résoudre des problèmes complexes.
🔗 Union et intersection : rappels
A ∩ B (A inter B) : Événement qui se produit quand A ET B se produisent simultanément.
A ∪ B (A union B) : Événement qui se produit quand A OU B (ou les deux) se produit.
🧮 La formule fondamentale
Pour deux événements A et B quelconques :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\]
Explication intuitive : Quand on additionne P(A) et P(B), on compte deux fois la partie commune (A ∩ B). Il faut donc la soustraire une fois.
Exemple concret : Dans une classe, la probabilité qu’un élève aime les maths est 0,6, qu’il aime le français est 0,5, et qu’il aime les deux est 0,3.
Quelle est la probabilité qu’un élève aime au moins une de ces deux matières ?
\[P(M \cup F) = 0,6 + 0,5 – 0,3 = 0,8\]
🎲 Cas particulier : événements incompatibles
Quand A et B sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps), alors :
\[P(A \cap B) = 0\]
Et donc :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
Exemple : En lançant un dé, la probabilité d’obtenir 1 ou 2 est :
\[P(1 \cup 2) = P(1) + P(2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
📊 Application avec un tableau à double entrée
Les tableaux à double entrée sont très utiles pour visualiser les intersections.
Exemple : Dans un groupe de 100 personnes, on étudie la pratique de deux sports : le football (F) et le tennis (T).
Calculons quelques probabilités :
\[P(F) = \frac{50}{100} = 0,5\]
\[P(T) = \frac{45}{100} = 0,45\]
\[P(F \cap T) = \frac{20}{100} = 0,2\]
\[P(F \cup T) = P(F) + P(T) – P(F \cap T) = 0,5 + 0,45 – 0,2 = 0,75\]
🔍 Vérification par dénombrement
Vérifions notre calcul précédent en comptant directement :
Personnes qui pratiquent au moins un sport : football seul (30) + tennis seul (25) + les deux (20) = 75 personnes
\[P(F \cup T) = \frac{75}{100} = 0,75\] ✓
💡 Méthode de résolution systématique
Étapes pour résoudre un problème d’union/intersection :
- Identifier les événements A et B
- Calculer P(A) et P(B)
- Calculer P(A ∩ B) si possible
- Appliquer la formule : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
- Vérifier la cohérence du résultat (doit être entre 0 et 1)
Exercice final : Dans un lot de 50 produits, 35 sont de bonne qualité (B), 40 sont bien emballés (E), et 30 sont à la fois de bonne qualité et bien emballés. Quelle est la probabilité qu’un produit pris au hasard soit de bonne qualité OU bien emballé ?
Solution :
\[P(B) = \frac{35}{50} = 0,7\]
\[P(E) = \frac{40}{50} = 0,8\]
\[P(B \cap E) = \frac{30}{50} = 0,6\]
\[P(B \cup E) = 0,7 + 0,8 – 0,6 = 0,9\]
🎉 Récapitulatif ultime : Félicitations ! Tu maîtrises maintenant les formules fondamentales des probabilités. Retiens surtout : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Cette formule est la clé pour résoudre une multitude de problèmes !
🌟 Bravo ! Tu as complété ce mini-cours sur les probabilités fondamentales. Tu disposes maintenant de solides bases pour aborder des problèmes plus complexes !
