🎯 Introduction à la notion de limite
La limite d’une suite décrit son comportement quand n devient très grand (tend vers l’infini). C’est un concept fondamental pour comprendre l’évolution à long terme des suites. 🎢
Quand on dit « n tend vers l’infini », on imagine que n prend des valeurs de plus en plus grandes : 100, 1000, 1000000… et on observe vers quelle valeur uₙ se rapproche.
📈 Les différents types de limites
1. Suite convergente 🎯
Une suite converge vers un nombre réel ℓ si les termes uₙ se rapprochent de plus en plus de ℓ quand n augmente.
Notation : \[\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\]
Exemple : uₙ = 1 + 1/n
- u₁ = 2
- u₁₀ = 1.1
- u₁₀₀ = 1.01
- u₁₀₀₀ = 1.001
La suite converge vers 1.
2. Suite divergente vers +∞ 🚀
Une suite diverge vers +∞ si les termes uₙ deviennent arbitrairement grands.
Notation : \[\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\]
Exemple : uₙ = n²
- u₁₀ = 100
- u₁₀₀ = 10000
- u₁₀₀₀ = 1000000
3. Suite divergente vers -∞ 📉
Une suite diverge vers -∞ si les termes uₙ deviennent arbitrairement petits (négatifs avec de grandes valeurs absolues).
Exemple : uₙ = -n
4. Suite qui ne possède pas de limite 🎭
Certaines suites n’ont pas de limite, comme uₙ = (-1)ⁿ qui alterne entre -1 et 1.
🔍 Méthodes pour déterminer une limite
Méthode 1 : Observation des premiers termes 👀
On calcule quelques termes pour se faire une intuition :
uₙ = (2n+1)/(n+3)
- u₁₀ = 21/13 ≈ 1.615
- u₁₀₀ = 201/103 ≈ 1.951
- u₁₀₀₀ = 2001/1003 ≈ 1.995
- La suite semble converger vers 2
Méthode 2 : Transformation algébrique 🧮
Pour uₙ = (2n+1)/(n+3), on factorise par n au numérateur et dénominateur :
\[u_n = \frac{n(2 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}}\]
Quand n → +∞, 1/n → 0 et 3/n → 0, donc :
\[\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2\]
📊 Représentation graphique des limites
Voici différents comportements de suites :
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=12cm,
height=8cm,
xlabel={$n$},
ylabel={$u_n$},
xmin=0,
xmax=20,
ymin=-1,
ymax=6,
grid=both,
legend pos=north west
]
\addplot[only marks, mark=*, mark size=1.5pt, color=blue] coordinates {
(1,2) (2,1.5) (3,1.33) (4,1.25) (5,1.2) (6,1.17) (7,1.14) (8,1.125)
(9,1.11) (10,1.1) (11,1.09) (12,1.083) (13,1.077) (14,1.071)
(15,1.067) (16,1.0625) (17,1.059) (18,1.056) (19,1.053) (20,1.05)
};
\addplot[domain=0:20, samples=100, thick, red, dashed] {1};
\addplot[only marks, mark=square*, mark size=1.5pt, color=green] coordinates {
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (7,7) (8,8) (9,9) (10,10)
(11,11) (12,12) (13,13) (14,14) (15,15) (16,16) (17,17) (18,18) (19,19) (20,20)
};
\legend{$u_n = 1 + \frac{1}{n}$, Limite=1, $v_n = n$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
🎯 Règles de calcul des limites
Limites des suites usuelles
- \[\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\]
- \[\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0\]
- \[\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty\]
- \[\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty\] (pour k > 0)
Opérations sur les limites
Si \[\lim u_n = \ell\] et \[\lim v_n = \ell’\]
- \[\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell’\]
- \[\lim (u_n \times v_n) = \ell \times \ell’\]
- \[\lim \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \frac{\ell}{\ell’}\] (si ℓ’ ≠ 0)
💡 Cas particuliers importants
Limite des suites géométriques
Pour uₙ = qⁿ
- Si |q| < 1, alors \[\lim q^n = 0\]
- Si q = 1, alors \[\lim 1^n = 1\]
- Si q > 1, alors \[\lim q^n = +\infty\]
- Si q ≤ -1, la suite n’a pas de limite
Théorème des gendarmes 🚔
Si pour tout n, vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et si vₙ et wₙ convergent vers la même limite ℓ, alors uₙ converge aussi vers ℓ.
Exemple : uₙ = sin(n)/n
On a -1/n ≤ uₙ ≤ 1/n et ±1/n → 0, donc uₙ → 0.
🌍 Applications concrètes des limites
Dosage médicamenteux 💊
Un patient prend 200mg d’un médicament chaque jour. Son corps élimine 30% du médicament présent chaque jour.
Modèle : Mₙ₊₁ = 0.7 × Mₙ + 200
Point fixe : ℓ = 200/(1-0.7) ≈ 666.67 mg
La concentration tend vers environ 667 mg.
Apprentissage 📚
Le nombre de mots qu’un étudiant peut mémoriser suit uₙ₊₁ = 0.8 × uₙ + 50.
Limite : ℓ = 50/(1-0.8) = 250 mots
🧠 Règles mnémotechniques
« PETIT SUR GRAND TEND VERS ZÉRO » ➗
Quand le numérateur est borné et le dénominateur tend vers l’infini, la limite est 0.
« QUAND C’EST COMPLIQUÉ, FACTORISE PAR LE PLUS GRAND TERME » 🎯
Pour les fractions rationnelles, on factorise toujours par la plus grande puissance de n.
⚠️ Pièges à éviter
- Ne pas conclure trop vite en regardant seulement les premiers termes
- Vérifier les conditions d’application des théorèmes
- Attention aux formes indéterminées : ∞-∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0
La notion de limite est fondamentale pour comprendre le comportement à long terme des suites et modéliser de nombreux phénomènes réels ! 🌟
