📐 Introduction à la notion de dérivée

La dérivée d’une fonction en un point mesure le taux de variation instantané de cette fonction, c’est-à-dire la pente de la tangente à sa courbe en ce point. C’est un outil fondamental pour étudier les variations d’une fonction. 🎢

🧮 Définition mathématique

La dérivée de f en un point a est définie par la limite :

\[
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}
\]

Quand cette limite existe, on dit que la fonction est dérivable en a.

📚 Dérivées des fonctions usuelles

Voici les dérivées des fonctions de référence qu’il faut absolument connaître :

🔧 Règles de dérivation

Pour dériver des fonctions plus complexes, on utilise des règles opératoires :

• Somme : (u + v)’ = u’ + v’
• Produit par une constante : (k × u)’ = k × u’
• Produit : (u × v)’ = u’v + uv’
• Quotient : (u/v)’ = (u’v – uv’)/v²

🎯 Exemples détaillés

Exemple 1 : Dériver f(x) = 3x² + 5x – 2

On applique les règles :

• Dérivée de 3x² : 3 × 2x = 6x
• Dérivée de 5x : 5 × 1 = 5
• Dérivée de -2 : 0

Donc : f'(x) = 6x + 5

Exemple 2 : Dériver g(x) = 4√x + 7/x

• Dérivée de 4√x : 4 × (1/(2√x)) = 2/√x
• Dérivée de 7/x : 7 × (-1/x²) = -7/x²

Donc : g'(x) = 2/√x – 7/x²

📊 Interprétation graphique

La dérivée f'(a) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Plus cette valeur est grande (en valeur absolue), plus la courbe est « pentue » en ce point.

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=8cm,
height=6cm,
xlabel={$x$},
ylabel={$f(x)$},
xmin=0,
xmax=4,
ymin=0,
ymax=4,
grid=both
]
\addplot[blue, thick, samples=100, domain=0:4] {0.5*(x-2)^2 + 1};
\addplot[red, thick, samples=100, domain=1:3] {x} node[above, pos=0.9] {Tangente};
\addplot[only marks, mark=*, color=black] coordinates {(2,1)} node[above right] {Point de contact};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

💡 Mémo dérivation

« Puissance descend, constante reste, racine devient fraction ! » Pour xⁿ, la puissance n « descend » en multiplicateur et devient n-1.