🔗 Introduction aux fonctions composées
Une fonction composée est une fonction formée par l’application successive de deux fonctions. Si on a \[u\] et \[v\], la composée \[v \circ u\] se lit « \[v\] rond \[u\] » et est définie par :
\[
(v \circ u)(x) = v(u(x))
\]
Par exemple, si \[u(x) = 2x + 1\] et \[v(x) = x^2\], alors \[(v \circ u)(x) = v(u(x)) = (2x + 1)^2\].
🎯 La formule de dérivation des fonctions composées
Pour dériver une fonction composée \[f(x) = v(u(x))\], on utilise la règle suivante :
\[
f'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))
\]
On peut retenir cette formule comme : « dérivée de l’intérieure \[ \times \] dérivée de l’extérieure appliquée à l’intérieure ».
📝 Cas particuliers importants
Voici quelques cas particuliers très fréquents :
- \[(u^n)’ = n \cdot u’ \cdot u^{n-1}\] (puissance d’une fonction)
- \[(\sqrt{u})’ = \dfrac{u’}{2\sqrt{u}}\] (racine d’une fonction)
- \[\left(\dfrac{1}{u}\right)’ = -\dfrac{u’}{u^2}\] (inverse d’une fonction)
🔍 Exemples détaillés pas à pas
Exemple 1 : Dériver \[f(x) = (3x^2 + 2)^4\]
On identifie : \[u(x) = 3x^2 + 2\] et \[v(X) = X^4\]
- \[u'(x) = 6x\]
- \[v'(X) = 4X^3\]
Application de la formule : \[f'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x)) = 6x \cdot 4(3x^2 + 2)^3\]
Donc : \[f'(x) = 24x(3x^2 + 2)^3\]
Exemple 2 : Dériver \[g(x) = \sqrt{x^3 – 5x}\]
On identifie : \[u(x) = x^3 – 5x\] et \[v(X) = \sqrt{X}\]
- \[u'(x) = 3x^2 – 5\]
- \[v'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}}\]
Application : \[g'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x)) = (3x^2 – 5) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^3 – 5x}}\]
Donc : \[g'(x) = \dfrac{3x^2 – 5}{2\sqrt{x^3 – 5x}}\]
🎨 Représentation visuelle de la composition
La composition peut se visualiser comme un enchaînement de transformations :
\begin{tikzpicture}[node distance=2cm]
\node (input) {$x$};
\node[draw, rectangle, right of=input] (u) {$u$};
\node[right of=u] (outputu) {$u(x)$};
\node[draw, rectangle, right of=outputu] (v) {$v$};
\node[right of=v] (output) {$v(u(x))$};
\draw[->] (input) — (u);
\draw[->] (u) — (outputu);
\draw[->] (outputu) — (v);
\draw[->] (v) — (output);
\end{tikzpicture}
⚠️ Pièges à éviter
- Ne pas confondre \[(u \circ v)(x)\] et \[(v \circ u)(x)\] : l’ordre de composition est important !
- Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure
- Vérifier l’ensemble de définition de la fonction composée
💡 Technique mnémotechnique
« Dériver de l’extérieur vers l’intérieur, sans oublier la chaîne ! » Pensez à une chaîne où chaque maillon doit être dérivé. Cette règle s’appelle d’ailleurs règle de la chaîne (chain rule en anglais).
