🎯 Introduction aux suites numériques

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, généralement notée (uₙ) ou (vₙ), où chaque nombre est appelé terme de la suite. 📊

Le premier terme est noté u₀ ou u₁, le deuxième u₁ ou u₂, et ainsi de suite. L’indice n représente la position du terme dans la suite.

🧮 Définition mathématique

Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels (ou une partie de celui-ci) à valeurs dans ℝ :

📝 Les différentes façons de définir une suite

1. Suite définie par une formule explicite ✨

Dans ce cas, on dispose d’une expression directe qui permet de calculer uₙ en fonction de n.

Exemple 1 : Suite définie par uₙ = 2n + 1

Calculons les premiers termes :

• u₀ = 2×0 + 1 = 1
• u₁ = 2×1 + 1 = 3
• u₂ = 2×2 + 1 = 5
• u₃ = 2×3 + 1 = 7

Cette suite représente les nombres impairs ! 🔢

Exemple 2 : Suite définie par vₙ = n²

• v₀ = 0² = 0
• v₁ = 1² = 1
• v₂ = 2² = 4
• v₃ = 3² = 9

2. Suite définie par récurrence 🔄

On donne le premier terme et une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Exemple : Suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ – 1

• u₀ = 2
• u₁ = 3×2 – 1 = 5
• u₂ = 3×5 – 1 = 14
• u₃ = 3×14 – 1 = 41

📊 Représentation graphique d’une suite

On peut représenter une suite dans un repère en plaçant les points de coordonnées (n, uₙ). Voici un exemple avec la suite uₙ = 0.5n + 2 :

\begin{tikzpicture}

\begin{axis}[

width=10cm, 

height=6cm, 

xlabel={$n$}, 

ylabel={$u_n$}, 

xmin=0, 

xmax=8, 

ymin=0, 

ymax=6, 

grid=both, 

xtick={0,1,2,3,4,5,6,7}, 

ytick={0,1,2,3,4,5,6}

]

\addplot[only marks, mark=*, mark size=2pt, color=blue] coordinates {(0,2) (1,2.5) (2,3) (3,3.5) (4,4) (5,4.5) (6,5) (7,5.5)};

\end{axis}

\end{tikzpicture}

🎪 Suites particulières importantes

Suite arithmétique 📈

Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison et noté r.

Formule de récurrence : uₙ₊₁ = uₙ + r

Formule explicite : uₙ = u₀ + n×r

Exemple : Suite des nombres pairs uₙ = 2n

• Raison : r = 2
• u₀ = 0, u₁ = 2, u₂ = 4, u₃ = 6

Suite géométrique 🎲

Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé raison et noté q.

Formule de récurrence : uₙ₊₁ = uₙ × q

Formule explicite : uₙ = u₀ × qⁿ

Exemple : Suite des puissances de 2 uₙ = 2ⁿ

• Raison : q = 2
• u₀ = 1, u₁ = 2, u₂ = 4, u₃ = 8

💡 Applications concrètes

Exemple 1 : Épargne régulière 💰

Tu déposes 1000Ar chaque mois sur ton compte. Ta suite d’épargne est arithmétique :

uₙ = 1000n (où n est le nombre de mois)

Exemple 2 : Intérêts composés 📈

Tu places 1000Ar à 2% d’intérêt annuel. Ta suite de capital est géométrique :

uₙ = 1000 × 1.02ⁿ

🧠 Récapitulatif mnémotechnique

ARITHMÉTIQUE = ADDITION ➕
GÉOMÉTRIQUE = MULTIPLICATION ✖️

Pour retenir la différence : « Arithmétique, c’est comme compter des marches d’escalier qu’on ajoute une à une. Géométrique, c’est comme un arbre qui se multiplie de branche en branche. » 🌳