Passons maintenant aux probabilités ! 🎲 Cette leçon va te permettre de quantifier le hasard et de faire des prédictions raisonnées.

📊 Événements et probabilités élémentaires

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure sa chance de se réaliser.

Formule fondamentale :

\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} \]

Exemple : Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 avec un dé équilibré ?

\[ P(6) = \frac{1}{6} \approx 0,1667 \]

Il y a environ 16,67% de chances d’obtenir un 6.

🔗 Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle P(A|B) est la probabilité que l’événement A se réalise sachant que B est déjà réalisé.

Formule importante :

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Exemple concret : Dans une classe de 30 élèves, 15 font du football, 12 font de la musique, et 5 font les deux.

• Probabilité qu’un élève fasse de la musique : P(M) = 12/30 = 0,4
• Probabilité qu’un élève fasse du football : P(F) = 15/30 = 0,5
• Probabilité qu’un élève fasse les deux : P(M∩F) = 5/30 ≈ 0,1667

Quelle est la probabilité qu’un élève fasse de la musique sachant qu’il fait du football ?

\[ P(M|F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} = \frac{5/30}{15/30} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0,333 \]

Il y a 33,3% de chances qu’un footballeur fasse aussi de la musique ! ⚽🎵

🎯 Indépendance entre événements

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.

Formule de l’indépendance :

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Exemple : On lance un dé et une pièce de monnaie.

• Probabilité d’obtenir 6 au dé : P(6) = 1/6
• Probabilité d’obtenir pile : P(P) = 1/2
• Probabilité d’obtenir 6 ET pile : P(6∩P) = (1/6) × (1/2) = 1/12

Ces événements sont indépendants car le résultat du dé n’influence pas la pièce, et vice-versa.

📈 Formule des probabilités totales

Si les événements B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de l’univers, alors :

\[ P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + … + P(A \cap B_n) \]

Ou encore :

\[ P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + … + P(A|B_n)P(B_n) \]

Voici une représentation visuelle de cette formule :

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0) circle (2cm);
\draw (1,0.5) circle (0.8cm);
\draw (-1,-0.5) circle (0.8cm);
\draw (0,-1) circle (0.8cm);
\node at (0,0) {A};
\node at (1.5,0.8) {B₁};
\node at (-1.5,-0.8) {B₂};
\node at (0,-1.8) {B₃};
\node at (3,0) {P(A) = P(A∩B₁) + P(A∩B₂) + P(A∩B₃)};
\end{tikzpicture} 

💡 Conseil pratique

Pour vérifier si deux événements sont indépendants, calcule P(A∩B) et compare avec P(A)×P(B). Si c’est égal, ils sont indépendants !