Découvrons maintenant la loi binomiale, l’une des lois de probabilité les plus importantes et les plus utilisées ! 📊

🎯 Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui présente seulement deux issues :

• Succès avec probabilité p
• Échec avec probabilité q = 1-p

Exemple : Lancer une pièce (pile = succès, face = échec) avec p = 0,5

📈 Loi binomiale

La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès obtenus lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Formule de la probabilité d’obtenir exactement k succès :

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

où X est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès.

Exemple concret : On lance 10 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 piles ?

Ici, n = 10, p = 0,5, k = 3

\[ P(X = 3) = \binom{10}{3} (0,5)^3 (0,5)^7 = 120 \times 0,125 \times 0,0078125 = 0,1172 \]

Il y a environ 11,72% de chances d’obtenir exactement 3 piles ! 🎲

📊 Espérance mathématique

L’espérance d’une variable aléatoire est la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités.

Pour une loi binomiale B(n,p), l’espérance est :

\[ E(X) = n \times p \]

Exemple : Dans l’exemple précédent avec 10 lancers et p = 0,5 :

\[ E(X) = 10 \times 0,5 = 5 \]

En moyenne, on obtiendra 5 piles sur 10 lancers.

📐 Variance et écart-type

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance.

Pour une loi binomiale :

\[ V(X) = n \times p \times (1-p) \]

L’écart-type est la racine carrée de la variance :

\[ \sigma(X) = \sqrt{n \times p \times (1-p)} \]

Exemple : Toujours avec nos 10 lancers à p = 0,5 :

\[ V(X) = 10 \times 0,5 \times 0,5 = 2,5 \]

\[ \sigma(X) = \sqrt{2,5} \approx 1,58 \]

📉 Représentation graphique

Voici la représentation d’une loi binomiale B(10,0.5) :

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{axis}[
ybar,
ymin=0,
xlabel={Nombre de succès},
ylabel={Probabilité},
symbolic x coords={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
xtick=data,
nodes near coords
]
\addplot coordinates {
(0,0.001)
(1,0.01)
(2,0.044)
(3,0.117)
(4,0.205)
(5,0.246)
(6,0.205)
(7,0.117)
(8,0.044)
(9,0.01)
(10,0.001)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

🔍 Conditions d’application

Pour utiliser la loi binomiale, il faut vérifier :

• 📌 Un nombre fixe n d’épreuves
• 📌 Des épreuves identiques et indépendantes
• 📌 Deux issues possibles par épreuve (succès/échec)
• 📌 Une probabilité de succès p constante

💡 Astuce de mémorisation

« Binomiale = Bernoulli répété » et « E = n×p, c’est si Elémentaire ! »