L’étude des limites et de la continuité est fondamentale en analyse fonctionnelle. Ces concepts nous permettent de comprendre le comportement des fonctions aux bornes de leur domaine de définition et d’identifier leurs propriétés essentielles. 🎯
Une limite décrit vers quelle valeur une fonction s’approche lorsque sa variable indépendante se rapproche d’une valeur particulière. Par exemple, considérons la fonction :
\[ f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1} \]
Cette fonction n’est pas définie en x = 1, mais nous pouvons étudier sa limite lorsque x tend vers 1. En factorisant le numérateur :
\[ f(x) = \frac{(x – 1)(x + 1)}{x – 1} = x + 1 \]
Ainsi, la limite lorsque x tend vers 1 est :
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \]
La continuité d’une fonction en un point signifie que la fonction est définie en ce point, que sa limite existe, et que ces deux valeurs sont égales. Mathématiquement, f est continue en a si :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
Prenons l’exemple de la fonction valeur absolue :
\[ f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \]
Cette fonction est continue en x = 0 car :
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0 \]
Les limites infinies se produisent lorsque la fonction croît ou décroît sans borne. Par exemple :
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \]
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \]
Voici un graphique illustrant différentes situations de limites :
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=10cm,
height=6cm,
xlabel={$x$},
ylabel={$f(x)$},
xmin=-3,
xmax=3,
ymin=-2,
ymax=4,
grid=both
]
\addplot[domain=-3:-0.1, samples=50, thick, blue] {1/x};
\addplot[domain=0.1:3, samples=50, thick, blue] {1/x};
\addplot[domain=-3:3, samples=50, thick, red] {x^2};
\addplot[only marks, mark=*, mark size=2pt, color=green] coordinates {(0,1)};
\addplot[only marks, mark=o, mark size=2pt, color=orange] coordinates {(1,2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
La courbe bleue montre une discontinuité avec limites infinies, la courbe rouge une fonction continue, le point vert une valeur définie, et le point orange une limite qui existe mais où la fonction n’est pas définie.
Le théorème des valeurs intermédiaires est une conséquence importante de la continuité : si une fonction continue sur un intervalle [a,b] prend deux valeurs différentes, alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires.
Astuce mnémotechnique : Pour retenir la définition de continuité, pensez à « dessiner la fonction sans lever le crayon » ✏️
