🎯 Objectif de la leçon : Maîtriser la forme trigonométrique des nombres complexes et appliquer la formule de Moivre pour le calcul des puissances.

🎪 Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Tout nombre complexe non nul z = a + bi peut s’écrire sous la forme :

\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \]

où :

• r = |z| est le module de z
• θ est un argument de z, noté arg(z)

📊 Détermination du module et d’un argument

Pour z = a + bi ≠ 0 :

\[ r = \sqrt{a^2 + b^2} \]

\[ \cos\theta = \frac{a}{r} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{b}{r} \]

Exemple : Mettons z = 1 + i sous forme trigonométrique

Module : \( r = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)

\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Donc \( \theta = \frac{\pi}{4} \) (modulo \( 2\pi \))

Forme trigonométrique : \( z = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

🎯 Représentation géométrique

Dans le plan complexe, la forme trigonométrique correspond aux coordonnées polaires :

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel={$\mathbb{R}$},
ylabel={$\mathbb{I}$},
xmin=-1, xmax=3,
ymin=-1, ymax=3,
grid=both,
width=8cm,
height=8cm
]
\addplot[only marks, mark=*, red] coordinates {(2,1.5)} node[above] {$M(z)$};
\addplot[red, thick, ->] coordinates {(0,0) (2,1.5)};
\node at (1,0.7) [red] {$r$};
\addplot[domain=0:36.87] ({0.5*cos(x)}, {0.5*sin(x)});
\node at (0.4,0.2) {$\theta$};
\addplot[dashed] coordinates {(2,0) (2,1.5)} node[pos=0.5, right] {$b=r\sin\theta$};
\addplot[dashed] coordinates {(0,0) (2,0)} node[pos=0.5, below] {$a=r\cos\theta$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

⚡ Formule de Moivre

Pour tout entier relatif n et tout réel θ :

\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \]

Application au calcul de puissances

Si z = r(cos θ + i sin θ), alors :

\[ z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \]

Exemple : Calculons (1 + i)⁸

On a vu que \( 1 + i = \sqrt{2}(\cos(\pi/4) + i \sin(\pi/4)) \)

Donc \( (1 + i)^8 = [\sqrt{2}]^8 \times (\cos(8\times\pi/4) + i \sin(8\times\pi/4)) \)

\[ = 16 \times (\cos(2\pi) + i \sin(2\pi)) = 16 \times (1 + 0i) = 16 \]

🔢 Formules d’Euler

Pour tout réel θ :

\[ \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \]

\[ \sin\theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i} \]

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

🧮 Produit et quotient en forme trigonométrique

Soient z = r(cos θ + i sin θ) et z’ = r'(cos θ’ + i sin θ’) :

Produit : \( z \times z’ = r \times r’ \times [\cos(\theta + \theta’) + i \sin(\theta + \theta’)] \)

Quotient : \( z/z’ = r/r’ \times [\cos(\theta – \theta’) + i \sin(\theta – \theta’)] \) (pour z’ ≠ 0)

Exemple : Soient z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) et z’ = 3(cos(π/6) + i sin(π/6))

\( z \times z’ = 6(\cos(\pi/3 + \pi/6) + i \sin(\pi/3 + \pi/6)) = 6(\cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2)) = 6i \)

💡 Astuce mnémotechnique

Pour la formule de Moivre, retiens cette phrase : « Pour élever à la puissance n, on multiplie le module par lui-même n fois et on multiplie l’argument par n » !