🎯 Objectif de la leçon : Découvrir les nombres complexes sous leur forme algébrique et maîtriser les opérations fondamentales.
Les nombres complexes constituent une extension des nombres réels qui permet de résoudre des équations qui n’avaient pas de solutions dans ℝ, comme x² + 1 = 0.
📝 Définition de la forme algébrique
Un nombre complexe s’écrit sous la forme :
\[ z = a + bi \]
où :
- a est la partie réelle, notée Re(z)
- b est la partie imaginaire, notée Im(z)
- i est l’unité imaginaire vérifiant i² = -1
Exemple : z = 3 + 2i a pour partie réelle 3 et partie imaginaire 2.
➕ Opérations sur les nombres complexes
Somme de deux complexes
Soient z = a + bi et z’ = a’ + b’i :
\[ (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i \]
Exemple : (2 + 3i) + (1 – 2i) = (2 + 1) + (3 – 2)i = 3 + i
Produit de deux complexes
\[ (a + bi) \times (a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i \]
Exemple détaillé : Calculons (2 + 3i) × (1 – 2i)
On développe : 2×1 + 2×(-2i) + 3i×1 + 3i×(-2i)
Ce qui donne : 2 – 4i + 3i – 6i²
Comme i² = -1, on a : 2 – i – 6×(-1) = 2 – i + 6 = 8 – i
Quotient de deux complexes
Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :
\[ \frac{a + bi}{a’ + b’i} = \frac{(a + bi)(a’ – b’i)}{(a’ + b’i)(a’ – b’i)} \]
Exemple : Calculons \[ \frac{1 + 2i}{3 – i} \]
On multiplie par le conjugué : \[ \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 – i)(3 + i)} \]
Numérateur : (1 + 2i)(3 + i) = 1×3 + 1×i + 2i×3 + 2i×i = 3 + i + 6i + 2i² = 3 + 7i – 2 = 1 + 7i
Dénominateur : (3 – i)(3 + i) = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
Résultat : \[ \frac{1 + 7i}{10} = 0,1 + 0,7i \]
🎨 Représentation graphique
Chaque nombre complexe z = a + bi peut être représenté par le point M(a, b) dans le plan.
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel={$\mathbb{R}$},
ylabel={$\mathbb{I}$},
xmin=-1,
xmax=4,
ymin=-1,
ymax=4,
grid=both,
width=8cm,
height=8cm
]
\addplot[only marks, mark=*, red] coordinates {(2,3)} node[above] {$M(2,3)$};
\addplot[only marks, mark=*, blue] coordinates {(1,-2)} node[below] {$N(1,-2)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
💡 Astuce mnémotechnique
Pour multiplier deux complexes, souviens-toi de la règle : « Premiers, derniers, intérieurs, extérieurs » comme pour le développement des expressions algébriques classiques, en n’oubliant jamais que i² = -1 !
