Une fonction réciproque est une fonction qui « annule » l’effet d’une autre fonction. Si f transforme x en y, alors sa réciproque f⁻¹ transforme y en x. 🔄

Mathématiquement, si f est une fonction bijective (injective et surjective), alors sa réciproque f⁻¹ est définie par :

\[ f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y \]

Les propriétés fondamentales des fonctions réciproques sont :

\[ f(f^{-1}(x)) = x \]

\[ f^{-1}(f(x)) = x \]

Prenons l’exemple de la fonction exponentielle et logarithme :

\[ f(x) = e^x \quad \text{et} \quad f^{-1}(x) = \ln(x) \]

Vérifions :

\[ f(f^{-1}(x)) = e^{\ln(x)} = x \]

\[ f^{-1}(f(x)) = \ln(e^x) = x \]

Pour qu’une fonction admette une réciproque, elle doit être bijective. Graphiquement, la courbe de f⁻¹ est la symétrique de celle de f par rapport à la droite y = x.

Voici une illustration de cette symétrie :

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=10cm,
height=8cm,
xlabel={$x$},
ylabel={$y$},
xmin=0,
xmax=4,
ymin=0,
ymax=4,
grid=both
]
\addplot[domain=0:4, samples=100, thick, blue] {e^(x-2)};
\addlegendentry{$f(x) = e^{x-2}$}
\addplot[domain=0.1:4, samples=100, thick, red] {ln(x) + 2};
\addlegendentry{$f^{-1}(x) = \ln(x) + 2$}
\addplot[domain=0:4, samples=100, thick, dashed, black] {x};
\addlegendentry{$y = x$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}

Le théorème de la fonction réciproque stipule que si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors elle admet une réciproque continue sur f(I).

La dérivée d’une fonction réciproque se calcule par :

\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{avec} \quad y = f(x) \]

Exemple avec f(x) = x³ dont la réciproque est f⁻¹(x) = x^{1/3} :

\[ f'(x) = 3x^2 \]

\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3y^{2/3}} \]

Vérifions par calcul direct :

\[ \frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3}x^{-2/3} \]

Les fonctions trigonométriques réciproques sont particulièrement importantes :

• Arcsinus : réciproque de sinus sur [-π/2, π/2]
• Arccosinus : réciproque de cosinus sur [0, π]
• Arctangente : réciproque de tangente sur ]-π/2, π/2[

Exemple avec arcsinus :

\[ \arcsin(\sin(x)) = x \quad \text{pour } x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \]

La dérivée de arcsinus est :

\[ \frac{d}{dx}(\arcsin(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]

Application : Résoudre l’équation sin(x) = 1/2. La solution principale est :

\[ x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \]

Les solutions générales sont :

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Astuce mnémotechnique : « La réciproque échange x et y » 🔁