Fonction logarithme népérien et propriétés

Mathématiques

La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’une des fonctions les plus importantes en mathématiques. Elle est définie comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle. 📈

La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ]0;+∞[ et à valeurs dans ℝ. Pour tout nombre réel strictement positif x, on a :

$\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x$

Cette définition montre que le logarithme népérien répond à la question : « À quelle puissance faut-il élever e pour obtenir x ? » 🤔

Voici les propriétés fondamentales du logarithme népérien :

ln(1) = 0 car e⁰ = 1
ln(e) = 1 car e¹ = e
ln(a × b) = ln(a) + ln(b) pour a > 0, b > 0
ln(a/b) = ln(a) – ln(b) pour a > 0, b > 0
ln(aⁿ) = n × ln(a) pour a > 0 et n ∈ ℝ

Examinons quelques exemples concrets :

Exemple 1 : Calculons ln(8) + ln(2)

D’après les propriétés : ln(8) + ln(2) = ln(8 × 2) = ln(16)

Or 16 = 2⁴, donc ln(16) = ln(2⁴) = 4 × ln(2)

Exemple 2 : Simplifions ln(27) – ln(3)

ln(27) – ln(3) = ln(27/3) = ln(9) = ln(3²) = 2 × ln(3)

La dérivée de la fonction logarithme népérien est particulièrement importante :

$\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}$

Cette formule montre que la pente de la tangente à la courbe de ln(x) en un point d’abscisse x est égale à 1/x. 📉

Voici le graphique de la fonction logarithme népérien :

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La courbe présente les caractéristiques suivantes :

Elle passe par le point (1,0)
Elle est croissante sur ]0;+∞[
Elle admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale
Elle est concave sur tout son domaine de définition

Astuce mnémotechnique : Pour retenir les propriétés du logarithme, pensez que « le logarithme transforme les produits en sommes » et « les puissances en produits » ! 🧠