L’étude graphique des fonctions combine tous les outils d’analyse pour comprendre complètement le comportement d’une fonction. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est un résultat fondamental qui garantit l’existence de solutions. 📊
Le théorème des valeurs intermédiaires s’énonce ainsi : si f est continue sur un intervalle [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c dans [a,b] tel que f(c) = k.
Ce théorème est particulièrement utile pour prouver l’existence de racines. Par exemple, montrons que l’équation x³ – 3x + 1 = 0 admet une solution dans [0,1] :
Soit f(x) = x³ – 3x + 1
\[ f(0) = 1 > 0 \]
\[ f(1) = -1 < 0 \]
Comme f est continue et que 0 est compris entre f(0) et f(1), le TVI assure qu’il existe c dans [0,1] tel que f(c) = 0.
L’étude complète d’une fonction comprend :
- Domaine de définition
- Limites aux bornes
- Dérivée et tableau de variation
- Dérivée seconde et convexité
- Asymptotes
- Représentation graphique
Prenons l’exemple de f(x) = (x² – 1)/(x² + 1) :
1. Domaine : ℝ (dénominateur toujours positif)
2. Limites :
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \]
3. Dérivée :
\[ f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \]
Tableau de variation :
- f'(x) < 0 pour x < 0 : fonction décroissante
- f'(x) = 0 pour x = 0 : extremum
- f'(x) > 0 pour x > 0 : fonction croissante
4. Dérivée seconde :
\[ f »(x) = \frac{4(1 – 3x^2)}{(x^2 + 1)^3} \]
Points d’inflexion en x = \pm 1/\sqrt{3}
Voici la représentation graphique complète :
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=12cm,
height=8cm,
xlabel={$x$},
ylabel={$f(x)$},
xmin=-3,
xmax=3,
ymin=-1.5,
ymax=1.5,
grid=both
]
\addplot[domain=-3:3, samples=100, thick, blue] {(x^2 – 1)/(x^2 + 1)};
\addlegendentry{$f(x) = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$}
\addplot[dashed, red] coordinates {(-3,1) (3,1)};
\addlegendentry{Asymptote $y=1$}
\addplot[only marks, mark=*, mark size=2pt, color=green] coordinates {(0,-1)};
\addlegendentry{Minimum}
\addplot[only marks, mark=*, mark size=2pt, color=orange] coordinates {(-0.577,0) (0.577,0)};
\addlegendentry{Points d’inflexion}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
Le théorème de la bijection (cas particulier du TVI) : si f est continue et strictement monotone sur [a,b], alors elle réalise une bijection de [a,b] sur [f(a),f(b)] (ou [f(b),f(a)] si décroissante).
Application : Résoudre e^x = 2 dans ℝ
La fonction f(x) = e^x est continue et strictement croissante sur ℝ.
\[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \]
\[ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \]
Comme 2 ∈ ]0,+∞[, il existe un unique x tel que e^x = 2, qui est x = \ln(2).
Les asymptotes sont des droites que la courbe approche sans jamais toucher :
- Asymptote verticale : x = a si lim f(x) = ±∞ quand x→a
- Asymptote horizontale : y = b si lim f(x) = b quand x→±∞
- Asymptote oblique : y = ax + b si lim [f(x) – (ax + b)] = 0
Exemple avec f(x) = (2x² + 1)/x :
Asymptote verticale : x = 0
Asymptote oblique : y = 2x car :
\[ f(x) = 2x + \frac{1}{x} \]
\[ \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – 2x] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0 \]
Astuce mnémotechnique : « Le TVI : quand on passe d’un côté à l’autre, on coupe forcément la route ! » 🛣️
