Bienvenue dans cette première leçon sur le dénombrement ! 🎯 Nous allons découvrir comment compter méthodiquement le nombre de possibilités dans différentes situations.

Le dénombrement est la branche des mathématiques qui permet de compter le nombre d’éléments d’un ensemble sans avoir à les énumérer un par un. C’est extrêmement utile en probabilités !

📊 Les arrangements

Un arrangement est une sélection ordonnée de k éléments parmi n éléments distincts.

La formule des arrangements est :

\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]

où n! (factorielle de n) = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1

Exemple concret : Dans une course de 8 coureurs, combien y a-t-il de podiums possibles (1er, 2ème, 3ème) ?

Ici, l’ordre compte ! Nous cherchons donc le nombre d’arrangements de 3 coureurs parmi 8 :

\[ A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336 \]

Il y a donc 336 podiums possibles ! 🏃‍♂️🏃‍♂️🏃‍♂️

🔄 Les permutations

Une permutation est un arrangement de tous les éléments d’un ensemble. C’est un cas particulier d’arrangement où k = n.

La formule des permutations est :

\[ P_n = n! \]

Exemple : De combien de façons peut-on ranger 5 livres différents sur une étagère ?

\[ P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Il existe 120 façons différentes de ranger ces livres ! 📚

🎲 Les combinaisons

Une combinaison est une sélection non ordonnée de k éléments parmi n éléments distincts.

La formule des combinaisons (coefficient binomial) est :

\[ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Exemple : Combien y a-t-il de façons de choisir 3 élèves parmi 10 pour former un groupe de travail ?

Ici, l’ordre ne compte pas ! Nous utilisons donc les combinaisons :

\[ C_{10}^3 = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Il y a 120 groupes possibles ! 👨‍🎓👩‍🎓👨‍🎓

📋 Tableau récapitulatif

L’ordre compte-t-il ? C’est la question clé pour choisir la bonne formule !

• Arrangement : OUI, l’ordre compte
• Permutation : OUI, on utilise tous les éléments
• Combinaison : NON, l’ordre ne compte pas

💡 Astuce mnémotechnique

« Arrangement = Avec ordre » et « Combinaison = Choix sans ordre »

Voici une représentation visuelle pour comprendre la différence :

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw (3,0) circle (1cm);
\node at (0,0) {Arrangements};
\node at (3,0) {Combinaisons};
\node at (0,1.5) {A-B-C ≠ C-B-A};
\node at (3,1.5) {A-B-C = C-B-A};
\node at (0,-1.5) {Ordre important};
\node at (3,-1.5) {Ordre sans importance};
\end{tikzpicture}