🎯 Introduction aux Suites Numériques

Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels (ou une partie de celui-ci) et à valeurs dans les réels. On la note généralement (uₙ) où n est l’indice.

📝 Les Différentes Définitions

Il existe deux principales manières de définir une suite :

• Définition explicite : uₙ = f(n) où f est une fonction
• Définition par récurrence : uₙ₊₁ = f(uₙ) avec u₀ donné

Exemple de suite définie explicitement :

\[ u_n = 2n + 3 \]

Exemple de suite définie par récurrence :

\[ u_{n+1} = 2u_n + 1 \] avec \[ u_0 = 1 \]

📈 Suites Monotones

Une suite est dite monotone si elle est toujours croissante ou toujours décroissante.

Suite croissante : Pour tout n, uₙ₊₁ ≥ uₙ

Suite décroissante : Pour tout n, uₙ₊₁ ≤ uₙ

Pour étudier la monotonie, on peut calculer la différence uₙ₊₁ – uₙ ou étudier le signe de la dérivée si la suite est définie explicitement.

Exemple : Étudions la monotonie de uₙ = n²

\[ u_{n+1} – u_n = (n+1)^2 – n^2 = 2n + 1 > 0 \] pour tout n ≥ 0

Donc la suite est strictement croissante 📈

🎯 Suites Bornées

Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Majorée : Il existe M tel que uₙ ≤ M pour tout n

Minorée : Il existe m tel que uₙ ≥ m pour tout n

Exemple : La suite uₙ = (-1)ⁿ/n est bornée car :

\[ -1 \leq u_n \leq 1 \] pour tout n ≥ 1

📊 Représentation Graphique

Voici une représentation d’une suite croissante et bornée :

\begin{tikzpicture}\begin{axis}[width=10cm, height=6cm, xlabel={n}, ylabel={uₙ}, xmin=0, xmax=6, ymin=0, ymax=12, grid=both, title={Suite croissante bornée}]\addplot[only marks, mark=*, blue] coordinates {(0,1) (1,2) (2,4) (3,6) (4,8) (5,10)};\addplot[dashed, red] coordinates {(0,11) (5,11)};\node[red] at (axis cs:3,11.5) {Majorant M=11};\end{axis}\end{tikzpicture}

💡 Astuce Mnémotechnique

Pour retenir les définitions : « Monotone = Même Ordre Notoire, Bornée = Entre Deux Barrières » 🎯