🎯 Objectif de la leçon : Comprendre les notions de conjugué et de module, et leur signification géométrique.
🔁 Le conjugué d’un nombre complexe
Le conjugué du nombre complexe z = a + bi est noté z̄ (z barre) et défini par :
\[ \overline{z} = a – bi \]
Exemple : Si \( z = 3 + 2i \), alors \( \overline{z} = 3 – 2i \)
Propriétés importantes du conjugué
- \( z + \overline{z} = 2\text{Re}(z) \) (deux fois la partie réelle)
- \( z – \overline{z} = 2i\text{Im}(z) \) (deux fois i fois la partie imaginaire)
- \( z \times \overline{z} = a² + b² \) (carré du module)
- \( \overline{z + z’} = \overline{z} + \overline{z’} \)
- \( \overline{z \times z’} = \overline{z} \times \overline{z’} \)
📏 Le module d’un nombre complexe
Le module de z = a + bi est noté |z| et défini par :
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Exemple : Pour \( z = 3 + 4i \), \( |z| = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
Propriétés du module
- |z| ≥ 0 et |z| = 0 si et seulement si z = 0
- |z × z’| = |z| × |z’|
- |z/z’| = |z|/|z’| (pour z’ ≠ 0)
- |z + z’| ≤ |z| + |z’| (inégalité triangulaire)
📐 Interprétation géométrique
Représentation du conjugué
Si M est le point d’affixe z, alors le point M’ d’affixe \( \overline{z} \) est le symétrique de M par rapport à l’axe des réels.
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel={$\mathbb{R}$},
ylabel={$\mathbb{I}$},
xmin=-1,
xmax=4,
ymin=-3,
ymax=3,
grid=both,
width=8cm,
height=8cm
]
\addplot[only marks, mark=*, red] coordinates {(2,2)} node[above] {$M(z)$};
\addplot[only marks, mark=*, blue] coordinates {(2,-2)} node[below] {$M'(\overline{z})$};
\addplot[dashed] coordinates {(2,2) (2,-2)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
Signification du module
Le module |z| représente la distance entre l’origine O du repère et le point M d’affixe z.
Si z = a + bi, alors |z| = OM = \( \sqrt{a² + b²} \)
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel={$\mathbb{R}$},
ylabel={$\mathbb{I}$},
xmin=-1,
xmax=5,
ymin=-1,
ymax=5,
grid=both,
width=8cm,
height=8cm
]
\addplot[only marks, mark=*, red] coordinates {(3,4)} node[above] {$M(3,4)$};
\addplot[red, thick, ->] coordinates {(0,0) (3,4)};
\node at (1.5,2) [red] {$|z|=5$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
🔍 Distance entre deux points complexes
Si A et B ont pour affixes respectives zA et zB, alors la distance AB est donnée par :
\[ AB = |z_B – z_A| \]
Exemple : Soient A(1 + 2i) et B(4 + 6i)
zB – zA = (4 + 6i) – (1 + 2i) = 3 + 4i
AB = |3 + 4i| = \( \sqrt{9 + 16} = 5 \)
💡 Astuce mnémotechnique
Pour te souvenir de la formule du module, pense au théorème de Pythagore : le module est l’hypoténuse du triangle rectangle formé par la partie réelle et la partie imaginaire !
