🎯 Introduction à l’arithmétique des entiers
L’arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers. Aujourd’hui, nous allons explorer deux concepts fondamentaux : la division euclidienne et les critères de divisibilité. Ces outils sont essentiels pour comprendre la structure des nombres entiers. 📊
🔢 La Division Euclidienne
La division euclidienne (ou division entière) est une opération fondamentale qui permet de décomposer un nombre entier en deux parties : le quotient et le reste.
Définition : Soient a et b deux entiers avec b ≠ 0. Il existe un unique couple d’entiers (q, r) tel que :
\[ a = b \times q + r \]
avec 0 ≤ r < |b|
Où :
- a est le dividende
- b est le diviseur
- q est le quotient
- r est le reste
📝 Exemple Détaillé
Prenons a = 27 et b = 5 :
\[ 27 = 5 \times 5 + 2 \]
Ici, le quotient q = 5 et le reste r = 2. On vérifie bien que 0 ≤ 2 < 5. ✅
Autre exemple avec a = -17 et b = 4 :
\[ -17 = 4 \times (-5) + 3 \]
Le quotient est -5 et le reste est 3 (toujours positif ou nul).
🎨 Représentation Graphique
Voici une représentation visuelle de la division euclidienne :
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[->] (0,0) — (6,0) node[right] {Dividende};
\draw[->] (0,0) — (0,4) node[above] {Diviseur};
\draw[thick, blue] (0,0) — (5,3) node[midway, above] {Quotient};
\draw[red, dashed] (2.5,1.5) — (2.5,0) node[below] {Reste};
\node at (1,3.5) {a = b × q + r};
\end{tikzpicture}
🔍 Critères de Divisibilité
Les critères de divisibilité permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division complète.
Divisibilité par 2
Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8).
Exemple : 1 234 est divisible par 2 (chiffre des unités = 4), mais 1 235 ne l’est pas.
Divisibilité par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemple : Pour 852 : 8 + 5 + 2 = 15, et 15 est divisible par 3, donc 852 est divisible par 3.
Divisibilité par 5
Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Exemple : 745 est divisible par 5, 892 ne l’est pas.
Divisibilité par 9
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple : Pour 6 732 : 6 + 7 + 3 + 2 = 18, divisible par 9, donc 6 732 est divisible par 9.
🧮 Tableau Récapitulatif des Critères
Voici un tableau résumant les principaux critères de divisibilité :
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (8,5);
\draw (0,4) — (8,4);
\draw (4,0) — (4,5);
\node at (2,4.5) {Diviseur};
\node at (6,4.5) {Critère};
\node at (2,3.5) {2};
\node at (6,3.5) {Chiffre des unités pair};
\node at (2,2.5) {3};
\node at (6,2.5) {Somme des chiffres divisible par 3};
\node at (2,1.5) {5};
\node at (6,1.5) {Chiffre des unités 0 ou 5};
\node at (2,0.5) {9};
\node at (6,0.5) {Somme des chiffres divisible par 9};
\end{tikzpicture}
💡 Application Pratique
Problème : Déterminer si 2 478 est divisible par 2, 3, 5 et 9.
Solution :
- Par 2 : ✓ (chiffre des unités = 8, pair)
- Par 3 : ✓ (2+4+7+8=21, divisible par 3)
- Par 5 : ✗ (chiffre des unités ≠ 0 ou 5)
- Par 9 : ✗ (21 n’est pas divisible par 9)
🎓 Astuce Mnémotechnique
Pour retenir les critères de divisibilité : « Pair pour 2, somme pour 3 et 9, zéro ou cinq pour 5 » 🧠
La division euclidienne et les critères de divisibilité sont les fondements de l’arithmétique moderne. Maîtriser ces concepts vous permettra d’aborder sereinement les chapitres suivants !
