🎯 Introduction aux Primitives

Les primitives sont l’opération inverse de la dérivation. Si la dérivée nous donne la pente d’une fonction, la primitive nous permet de reconstruire la fonction à partir de sa pente. C’est un concept fondamental en analyse mathématique. 📈

🔢 Définition d’une Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que :

Exemple : F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x car (x²)’ = 2x

📚 Propriétés Fondamentales

• Si F est une primitive de f, alors F + C (où C est une constante) est aussi une primitive de f
• Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante
• La primitive qui s’annule en a est unique : F(x) = ∫_a^x f(t) dt

🧮 Tableau des Primitives Usuelles

Voici les primitives essentielles à connaître :

🔍 Linéarité des Primitives

Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors :

où a et b sont des constantes réelles.

📝 Exemples de Calcul de Primitives

Exemple 1 : Trouver une primitive de f(x) = 3x² – 2x + 5

Exemple 2 : Primitive de g(x) = cos(2x)

On reconnaît la forme (sin u)’ = u’ cos u

Donc G(x) = ½ sin(2x) + C

🎯 Primitives et Calcul de Limites

Les primitives sont très utiles pour calculer des limites de formes indéterminées, notamment avec les fonctions ln, exp et puissances.

Limites avec ln

On utilise souvent le développement limité : ln(1 + x) ∼ x quand x → 0

Exemple : lim_x→0 (ln(1 + 3x))/x

On reconnaît la forme (ln(1 + u))’ en 0 qui vaut 1

Donc la limite est 3

Limites avec exp

On utilise : (e^x – 1) ∼ x quand x → 0

Exemple : lim_x→0 (e^2x – 1)/x

Cette limite représente la dérivée de e^2x en 0, qui vaut 2

💡 Méthode de Résolution de Limites Complexes

Calculer : lim_x→0 (∫₀^x e^t² dt)/x

On reconnaît la forme F(x)/x où F(x) = ∫₀^x e^t² dt

F(0) = 0 et F'(x) = e^x²

Donc F'(0) = 1

Par définition de la dérivée : lim_x→0 F(x)/x = F'(0) = 1

🎨 Représentation Graphique d’une Primitive

Voici comment une primitive représente l’accumulation d’aire :

🧩 Primitives de Fonctions Composées

Pour les fonctions de la forme u'(x)f(u(x)), on utilise la méthode de reconnaissance de forme :

où F est une primitive de f.

Exemple : ∫ 2x e^x² dx

On reconnaît u'(x) = 2x et u(x) = x², f(u) = e^u

Donc la primitive est e^x² + C

🎓 Astuce Mnémotechnique

Pour les primitives : « Dérivée connue = primitive devinée » 🧠

Pour les limites : « Forme 0/0 = penser à la dérivée »

Les primitives sont la clé pour comprendre l’intégration et le calcul des aires !