Module, argument et formes trigonométrique et exponentielle

Mathématiques

🎯 Les Différentes Formes d’Écriture des Complexes

Maintenant que nous maîtrisons la forme algébrique, découvrons d’autres façons de représenter les nombres complexes qui révèlent leur véritable nature géométrique. Ces formes sont particulièrement utiles pour la multiplication, la division et les puissances. 📐

🔢 Module d’un Nombre Complexe

Le module d’un nombre complexe z = a + bi est la distance entre l’origine et le point représentant z dans le plan complexe. On le note |z| :

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Exemple : Pour z = 3 + 4i, |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

📐 Argument d’un Nombre Complexe

L’argument d’un nombre complexe non nul z = a + bi est l’angle que fait le vecteur représentant z avec l’axe des réels positif. On le note arg(z) :

$\arg(z) = \theta \quad \text{avec} \quad \begin{cases} \cos\theta = \frac{a}{|z|} \\ \sin\theta = \frac{b}{|z|} \end{cases}$

L’argument est défini à 2π près (ou 360°).

🎨 Représentation Graphique Module/Argument

Voici une illustration du module et de l’argument :

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📚 Forme Trigonométrique

Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous forme trigonométrique :

$z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$

où θ = arg(z)

Exemple : Pour z = 1 + i√3

|z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2

cos θ = 1/2, sin θ = √3/2 ⇒ θ = π/3

Donc z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))

⚡ Forme Exponentielle

La forme exponentielle utilise la formule d’Euler :

$z = |z| e^{i\theta}$

Cette notation est très pratique pour les calculs !

🔍 Passages Entre les Formes

Algébrique → Trigonométrique/Exponentielle

Soit z = a + bi :

Calculer |z| = √(a² + b²)
Déterminer θ tel que cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|
Écrire z = |z|(cos θ + i sin θ) ou z = |z|e^{iθ}

Trigonométrique/Exponentielle → Algébrique

Soit z = |z|(cos θ + i sin θ) ou z = |z|e^{iθ} :

$a = |z| \cos\theta \quad \text{et} \quad b = |z| \sin\theta$

📝 Exemple Complet de Conversion

Convertir z = -1 + i en forme trigonométrique et exponentielle

Étape 1 : Module |z| = √((-1)² + 1²) = √2

Étape 2 : Argument : cos θ = -1/√2, sin θ = 1/√2

Donc θ = 3π/4 (2ème quadrant)

Étape 3 : Forme trigonométrique : z = √2(cos(3π/4) + i sin(3π/4))

Étape 4 : Forme exponentielle : z = √2 e^{i3π/4}

🧮 Opérations avec les Formes Trigonométrique/Exponentielle

Multiplication

Soient z₁ = |z₁|e^{iθ₁} et z₂ = |z₂|e^{iθ₂}, alors :

$z_1 \times z_2 = |z_1||z_2| e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

Interprétation géométrique : On multiplie les modules et on additionne les arguments.

Division

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

Interprétation géométrique : On divise les modules et on soustrait les arguments.

Puissance

$z^n = |z|^n e^{i n \theta}$

C’est la formule de Moivre :

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

💡 Exemple d’Application

Calculons (1 + i)⁸ en utilisant la forme exponentielle :

1 + i = √2 e^{iπ/4}

Donc (1 + i)⁸ = (√2)⁸ e^{i8×π/4} = 16 e^{i2π} = 16(cos 2π + i sin 2π) = 16

Beaucoup plus simple qu’avec la forme algébrique !

🎨 Visualisation des Opérations

Voici comment se comportent multiplication et division géométriquement :

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🔢 Propriétés du Module

|z₁ × z₂| = |z₁| × |z₂|
|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| (si z₂ ≠ 0)
|zⁿ| = |z|ⁿ
|z̄| = |z|
Inégalité triangulaire : |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

🎓 Astuce Mnémotechnique

Pour retenir les opérations en forme exponentielle : « Modules multipliés, arguments additionnés » 🧠

Pour la forme trigonométrique : « Module fois (cos + i sin) »

Ces formes sont vos meilleures alliées pour les calculs complexes !