Limites usuelles et comportements à l'infini

Mathématiques

Introduction aux limites 📈

La notion de limite est fondamentale en analyse mathématique. Elle permet d’étudier le comportement d’une fonction lorsque la variable x s’approche d’une valeur particulière ou tend vers l’infini. 🎯

Définition formelle de la limite

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I ou une borne de I. On dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers a si :

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$

Limites usuelles à connaître par cœur 💡

Voici les limites fondamentales que tout élève de Terminale C doit maîtriser :

Fonction polynomiale : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ pour n > 0
Fonction inverse : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0^+$
Fonction exponentielle : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
Fonction logarithme : $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

Comportement à l’infini 🚀

Lorsque x tend vers l’infini, les fonctions peuvent avoir différents comportements :

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Asymptotes 📐

Une asymptote est une droite dont la courbe représentative de la fonction se rapproche sans jamais la toucher (sauf cas particuliers).

Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ , alors la droite d’équation y = L est asymptote horizontale.

Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ , alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale.

Asymptote oblique : Si $f(x) = ax + b + \varepsilon(x)$ avec $\lim_{x \to \infty} \varepsilon(x) = 0$ , alors y = ax + b est asymptote oblique.

Exemple détaillé 🔍

Étudions la fonction : $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$

Pour x → 1, on a une forme indéterminée 0/0. Factorisons :

$f(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x - 1} = 2x - 1 \quad \text{pour } x \neq 1$

Ainsi : $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$

Récapitulatif mnémotechnique 🧠

ASTUCE : Pour les limites en l’infini des fractions rationnelles, comparez les degrés :

Si deg(numérateur) > deg(dénominateur) → ±∞
Si deg(numérateur) = deg(dénominateur) → quotient des coefficients
Si deg(numérateur) < deg(dénominateur) → 0

Cette leçon te permet de poser les bases essentielles pour la suite ! ✨