🎯 Introduction aux suites numériques
Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ. On note généralement une suite (uₙ) où n est l’indice.
Exemple fondamental : La suite définie par uₙ = 2n + 1 pour n ≥ 0 donne : u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7, …
📈 Monotonie des suites
La monotonie d’une suite caractérise son comportement croissant ou décroissant :
- Suite croissante : uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n
- Suite décroissante : uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout n
- Suite monotone : soit croissante, soit décroissante
Méthode d’étude : Pour étudier la monotonie, on calcule uₙ₊₁ – uₙ ou on étudie le rapport uₙ₊₁/uₙ (si uₙ > 0).
🔍 Suites bornées
Une suite est dite bornée si elle admet des majorants et minorants :
- Majorée : ∃ M ∈ ℝ tel que uₙ ≤ M pour tout n
- Minorée : ∃ m ∈ ℝ tel que uₙ ≥ m pour tout n
- Bornée : à la fois majorée et minorée
Exemple : La suite uₙ = (-1)ⁿ/n est bornée car -1 ≤ uₙ ≤ 1 pour tout n ≥ 1.
🎯 Convergence et limites
Une suite (uₙ) converge vers un réel L si :
∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ tel que ∀ n ≥ N, |uₙ – L| < ε
Notation :
Critères de convergence importants :
- Théorème de la limite monotone
- Théorème des gendarmes
- Critère de Cauchy
Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure. Toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.
Exemple d’application : La suite uₙ = 1 – 1/n est croissante et majorée par 1, donc elle converge vers 1.
📊 Représentation graphique
Voici une représentation de suites convergentes et divergentes :
💡 Astuce mnémotechnique
Mémo convergence : « Croissant + Majoré = Convergent » (CMC) – comme les initiales !
Récapitulatif : Pour étudier une suite, toujours vérifier dans l’ordre : définition → monotonie → bornes → convergence.
