Étude des coniques et équations réduites

Mathématiques

🎯 Les Coniques : Courbes Fondamentales

Les coniques sont des courbes obtenues par l’intersection d’un plan avec un cône. Elles comprennent l’ellipse, la parabole et l’hyperbole, et ont des propriétés géométriques remarquables. 📐

🔢 Définition Géométrique des Coniques

Une conique est l’ensemble des points M du plan vérifiant :

$\frac{MH}{d(M,D)} = e$

où H est le projeté de M sur la directrice D, F est le foyer, et e est l’excentricité.

Si e < 1 : ellipse
Si e = 1 : parabole
Si e > 1 : hyperbole

📚 L’Ellipse

Une ellipse est l’ensemble des points M tels que MF + MF’ = 2a, où F et F’ sont les foyers.

Équation Réduite

Avec centre O, foyers sur l’axe Ox :

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

avec b² = a² – c², où c = OF

Éléments Caractéristiques

Foyers : F(c,0) et F'(-c,0)
Sommet : (±a,0) et (0,±b)
Excentricité : e = c/a
Directrices : x = ±a/e

🎨 Représentation de l’Ellipse

Voici une ellipse avec ses éléments caractéristiques :

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⚡ La Parabole

Une parabole est l’ensemble des points M équidistants d’un point F (foyer) et d’une droite D (directrice).

Équation Réduite

Avec foyer F(0,p/2) et directrice y = -p/2 :

$y = \frac{1}{2p} x^2$

Ou plus généralement : y² = 2px

Éléments Caractéristiques

Foyer : F(p/2,0) si axe Ox
Directrice : x = -p/2
Sommet : O(0,0)
Paramètre : p

📊 L’Hyperbole

Une hyperbole est l’ensemble des points M tels que |MF – MF’| = 2a.

Équation Réduite

Avec centre O, foyers sur l’axe Ox :

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

avec b² = c² – a², où c = OF

Éléments Caractéristiques

Foyers : F(c,0) et F'(-c,0)
Sommet : (±a,0)
Asymptotes : y = ±(b/a)x
Excentricité : e = c/a > 1

📝 Exemple d’Identification

Problème : Identifier la conique d’équation 9x² + 16y² – 144 = 0

Solution :

9x² + 16y² = 144

x²/16 + y²/9 = 1

C’est une ellipse avec a = 4, b = 3

c = √(a² – b²) = √7 ≈ 2,65

🔍 Équation Générale des Coniques

Une conique a pour équation générale :

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

Le discriminant Δ = B² – 4AC permet de reconnaître la nature :

Δ < 0 : ellipse (ou point ou vide)
Δ = 0 : parabole
Δ > 0 : hyperbole

💡 Application : Orbites Planétaires

Les planètes décrivent des ellipses autour du Soleil (1ère loi de Kepler). Le Soleil occupe un des foyers.

Pour la Terre : a ≈ 149,6 millions de km, e ≈ 0,0167

Distance au Soleil varie entre a(1-e) et a(1+e)

🎯 Propriétés Focales

Ellipse

Un rayon issu d’un foyer se réfléchit vers l’autre foyer.

Parabole

Un rayon parallèle à l’axe se réfléchit vers le foyer (principe des antennes paraboliques).

Hyperbole

Un rayon dirigé vers un foyer se réfléchit comme s’il provenait de l’autre foyer.

🧮 Exercice Complet

Problème : Trouver les éléments de l’hyperbole x²/9 – y²/16 = 1

Solution :

a = 3, b = 4

c = √(a² + b²) = √(9 + 16) = 5

Foyers : F(5,0) et F'(-5,0)

Excentricité : e = c/a = 5/3

Asymptotes : y = ±(4/3)x

🎓 Astuce Mnémotechnique

Pour reconnaître les coniques : « Plus dans l’équation = ellipse, Moins = hyperbole, Un seul carré = parabole » 🧠

Pour les foyers : « Ellipse : c² = a² – b², Hyperbole : c² = a² + b² »

Les coniques sont partout dans la nature et la technologie !