Dénombrement et triangle de Pascal

Mathématiques

🎯 Introduction au Dénombrement

Le dénombrement est l’art de compter sans avoir à énumérer toutes les possibilités. C’est une branche fondamentale des mathématiques qui trouve des applications en probabilités, en informatique et dans la vie quotidienne. 🧮

🔢 Principes Fondamentaux du Dénombrement

Principe Additif

Si une opération peut être réalisée de m façons et une autre opération de n façons, et si ces opérations ne peuvent pas être réalisées simultanément, alors il y a m + n façons de réaliser l’une ou l’autre.

Exemple : Si tu as 3 chemins pour aller à l’école et 2 chemins pour aller au parc, et que tu ne peux aller qu’à un seul endroit, tu as 3 + 2 = 5 choix possibles.

Principe Multiplicatif

Si une opération peut être réalisée de m façons et si, pour chacune de ces façons, une seconde opération peut être réalisée de n façons, alors il y a m × n façons de réaliser les deux opérations successivement.

Exemple : Si tu as 3 t-shirts et 2 pantalons, tu as 3 × 2 = 6 tenues possibles.

📚 Arrangements et Combinaisons

Arrangements

Un arrangement de p éléments parmi n est une liste ordonnée de p éléments distincts choisis parmi n.

Le nombre d’arrangements est donné par :

$A_n^p = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$

Exemple : Combien de podiums possibles avec 8 coureurs ?

A₈³ = 8 × 7 × 6 = 336 podiums possibles

Combinaisons

Une combinaison de p éléments parmi n est un sous-ensemble non ordonné de p éléments choisis parmi n.

Le nombre de combinaisons est donné par :

$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Exemple : Combien de comités de 3 personnes avec 8 candidats ?

C₈³ = 8!/(3!×5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 56 comités

🎨 Différence entre Arrangements et Combinaisons

Voici une illustration pour comprendre la différence :

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🔢 Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est une présentation géométrique des coefficients binomiaux Cₙᵖ. Chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus.

Voici les premières lignes :

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📝 Propriétés des Coefficients Binomiaux

Symétrie : Cₙᵖ = Cₙⁿ⁻ᵖ
Relation de Pascal : Cₙᵖ = Cₙ₋₁ᵖ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵖ
Formule du binôme : (a + b)ⁿ = Σ Cₙᵏ aᵏ bⁿ⁻ᵏ
Somme : Σ Cₙᵏ = 2ⁿ

💡 Exemple d’Application du Triangle de Pascal

Développer (x + y)⁴

En utilisant la ligne 4 du triangle : 1, 4, 6, 4, 1

(x + y)⁴ = 1x⁴y⁰ + 4x³y¹ + 6x²y² + 4x¹y³ + 1x⁰y⁴

= x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

🧮 Exercice de Dénombrement Complet

Problème : Dans une classe de 25 élèves, on veut former :

Un bureau de 3 personnes (président, secrétaire, trésorier)
Une délégation de 3 personnes

Solutions :

1. Bureau : A₂₅³ = 25 × 24 × 23 = 13 800 possibilités

2. Délégation : C₂₅³ = (25 × 24 × 23)/(3 × 2 × 1) = 2 300 possibilités

🎯 Cas Particuliers Importants

Permutations

Cas particulier d’arrangements où p = n :

$P_n = n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1$

Exemple : 5 personnes autour d’une table : 5! = 120 placements possibles

Combinaisons avec Répétition

Nombre de façons de choisir p éléments parmi n avec répétition possible :

$\Gamma_n^p = C_{n+p-1}^p$

🎓 Astuce Mnémotechnique

Pour retenir la différence : « Arrangement = l’Ordre Compte, Combinaison = l’Ordre ne Compte pas » 🧠

Pour le triangle de Pascal : « Chaque nombre = somme des deux au-dessus »

Le dénombrement est la base du calcul des probabilités !