La continuité : concept fondamental 🔗
La continuité d’une fonction exprime l’idée intuitive qu’on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. C’est une propriété essentielle en analyse. ✏️
Définition rigoureuse de la continuité
Une fonction f est continue en un point a si :
Cette définition implique trois conditions :
- f est définie en a
- La limite de f en a existe
- La limite est égale à f(a)
Continuité sur un intervalle 📊
Une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Fonctions continues usuelles :
- Fonctions polynomiales sur ℝ
- Fonctions rationnelles sur leur domaine de définition
- Fonctions trigonométriques sur ℝ
- Fonction exponentielle sur ℝ
- Fonction logarithme sur ]0,+∞[
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) 🎯
Si f est continue sur [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel c ∈ [a,b] tel que :
Cas particulier important : le théorème de Bolzano
Si f est continue sur [a,b] et si f(a) × f(b) < 0, alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0.
Ce théorème est particulièrement utile pour prouver l’existence de solutions d’équations. 💪
Exemple d’application concret 🔍
Montrons que l’équation x³ – 3x + 1 = 0 admet au moins une solution dans [1,2].
Soit f(x) = x³ – 3x + 1
- f est continue sur [1,2] (fonction polynomiale)
- f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 < 0
- f(2) = 8 – 6 + 1 = 3 > 0
D’après le théorème de Bolzano, il existe c ∈ ]1,2[ tel que f(c) = 0.
Continuité et opérations algébriques ➕
Si f et g sont continues en a, alors :
- f + g est continue en a
- f × g est continue en a
- f/g est continue en a si g(a) ≠ 0
- f ∘ g est continue en a
Continuité par morceaux 🧩
Une fonction peut être continue par morceaux sur un intervalle. Cela signifie qu’elle est continue sur chaque sous-intervalle et présente éventuellement des discontinuités aux points de jonction.
Récapitulatif et conseils pratiques 💡
Pour vérifier la continuité en un point :
- Vérifie que la fonction est définie au point
- Calcule la limite à gauche et à droite
- Compare avec la valeur de la fonction
La continuité est une propriété locale mais qui a des conséquences globales importantes ! 🌟
