Applications et équations différentielles

Mathématiques

🎯 Applications des Intégrales

Les intégrales trouvent des applications dans de nombreux domaines : calcul d’aires, de volumes, de centres de gravité, et surtout dans la résolution d’équations différentielles qui modélisent des phénomènes naturels. 🌍

🔢 Calcul d’Aires Planes

L’aire sous la courbe y = f(x) entre x = a et x = b est :

$A = \int_a^b |f(x)| \, dx$

Pour une courbe définie paramétriquement par (x(t), y(t)) sur [t₁, t₂] :

$A = \int_{t_1}^{t_2} y(t) x'(t) \, dt$

📐 Volumes de Révolution

Méthode des Disques

Volume obtenu en faisant tourner y = f(x) autour de l’axe Ox :

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Méthode des Coquilles Cylindriques

Volume obtenu en faisant tourner autour de l’axe Oy :

$V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx$

🎨 Représentation des Volumes de Révolution

Voici un volume de révolution généré par une fonction :

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📚 Introduction aux Équations Différentielles

Une équation différentielle est une équation liant une fonction inconnue à ses dérivées. Nous étudierons les équations du premier ordre.

Équation Différentielle Linéaire du Premier Ordre</h4

Forme générale : y’ + a(x)y = b(x)

La solution générale est :

$y(x) = e^{-A(x)} \left( \int b(x) e^{A(x)} \, dx + C \right)$

où A(x) = ∫ a(x) dx

📝 Exemple de Résolution d’Équation Différentielle

Résoudre : y’ + 2xy = x

1. On identifie a(x) = 2x, b(x) = x

2. A(x) = ∫ 2x dx = x²

3. Solution générale :

y(x) = e^-x² (∫ x e^x² dx + C)

4. Calculons ∫ x e^x² dx

On pose u = x² ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du/2

∫ x e^x² dx = ½ ∫ e^u du = ½ e^u = ½ e^x²

5. Donc y(x) = e^-x² (½ e^x² + C) = ½ + C e^-x²

🔍 Équations à Variables Séparables

Forme : y’ = f(x)g(y)

Méthode de résolution :

$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \, dx$

Exemple : y’ = xy

dy/dx = xy ⇒ dy/y = x dx

∫ dy/y = ∫ x dx

ln|y| = ½ x² + C

y = K e^x²/2 où K = ±e^C

💡 Application : Loi de Refroidissement de Newton

La température T d’un corps suit : dT/dt = -k(T – T_a)

où T_a est la température ambiante.

Solution : T(t) = T_a + (T₀ – T_a)e^-kt

Exemple numérique :

Un corps à 100°C dans une pièce à 20°C, après 10 min il est à 60°C.

Trouvons k : 60 = 20 + (100 – 20)e^-10k

40 = 80e^-10k ⇒ e^-10k = 0,5 ⇒ k = (ln 2)/10 ≈ 0,0693

🎨 Graphique de la Solution d’une Équation Différentielle

Voici les courbes solutions pour différentes conditions initiales :

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🧮 Calcul de Longueur d’Arc

La longueur d’une courbe y = f(x) entre x = a et x = b est :

$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$

Exemple : Longueur de y = x^3/2 entre 0 et 1

f'(x) = (3/2)x^1/2

L = ∫₀¹ √(1 + (9/4)x) dx

= [⅔ × ⅐ (1 + 9x/4)^3/2]₀¹ = (8/27)[(13/4)^3/2 – 1]

🔢 Centre de Gravité d’une Surface

Pour une surface sous y = f(x) entre a et b :

$x_G = \frac{\int_a^b x f(x) \, dx}{\int_a^b f(x) \, dx}$

$y_G = \frac{1}{2} \frac{\int_a^b [f(x)]^2 \, dx}{\int_a^b f(x) \, dx}$

💡 Problème de la Chaînette

La forme d’une chaîne suspendue suit l’équation différentielle :

y » = k √(1 + (y’)²)

Solution : y = (1/k) cosh(kx) + C

C’est un bel exemple d’application des équations différentielles en physique.

🎓 Astuce Mnémotechnique

Pour les équations différentielles linéaires : « Solution = e^-A fois (intégrale de b e^A + C) » 🧠

Pour les volumes de révolution : « Disques : π∫f², Coquilles : 2π∫xf »

Les intégrales et équations différentielles ouvrent la porte à la modélisation du monde réel !