Applications affines et transformations géométriques

Mathématiques

🎯 Les Transformations du Plan

Les transformations géométriques permettent de déplacer, tourner, ou déformer des figures tout en conservant certaines propriétés. Elles sont fondamentales en géométrie et ont de nombreuses applications pratiques. 🔄

🔢 Applications Affines

Une application affine est une transformation qui conserve l’alignement et le parallélisme. Elle s’écrit sous la forme :

$f(M) = M' \quad \text{avec} \quad \overrightarrow{OM'} = A \cdot \overrightarrow{OM} + \vec{b}$

où A est une matrice et b un vecteur.

📚 Translation

La translation de vecteur u est l’application qui à tout point M associe le point M’ tel que :

$\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$

Propriétés :

Conserve les distances, les angles, les aires
N’a pas de point fixe (sauf si u = 0)
Est une isométrie

📐 Rotation

La rotation de centre O et d’angle θ est l’application qui à tout point M associe le point M’ tel que :

OM’ = OM et (OM, OM’) = θ

Dans un repère orthonormé, si O est l’origine :

$\begin{cases} x' = x \cos\theta - y \sin\theta \\ y' = x \sin\theta + y \cos\theta \end{cases}$

🎨 Représentation des Transformations

Voici l’effet des principales transformations :

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⚡ Isométries

Une isométrie est une transformation qui conserve les distances. Les principales isométries sont :

Translation
Rotation
Symétrie axiale (réflexion)
Symétrie glissée

Propriétés des Isométries

Conservent les distances
Conservent les angles
Conservent les aires
Conservent l’alignement

📊 Similitudes

Une similitude est une transformation qui multiplie les distances par un réel k > 0 appelé rapport.

Une similitude de rapport k :

Multiplie les distances par k
Multiplie les aires par k²
Conserve les angles

🧮 Composition des Transformations

La composition de transformations suit des règles importantes :

Translation ∘ Translation = Translation
Rotation ∘ Rotation = Rotation (angle somme)
Homothétie ∘ Homothétie = Homothétie (rapport produit)

📝 Exemple de Composition

Problème : Soit f la rotation de centre O(0,0) d’angle π/2 et g la translation de vecteur (1,0). Décrire g ∘ f.

Solution :

f(x,y) = (-y, x)

g(x,y) = (x+1, y)

Donc (g ∘ f)(x,y) = g(f(x,y)) = g(-y, x) = (-y+1, x)

C’est une rotation de centre (0,5; 0,5) d’angle π/2.

🔍 Matrices des Transformations

Rotation d’angle θ

$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

Homothétie de rapport k

$H_k = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$

💡 Application : Symétrie Axiale

La symétrie d’axe (D) passant par O et de vecteur directeur u unitaire a pour expression :

$s(M) = M' \quad \text{avec} \quad \overrightarrow{OM'} = 2(\overrightarrow{OM} \cdot \vec{u})\vec{u} - \overrightarrow{OM}$

🎯 Classification des Isométries Planes

Les isométries du plan se classent en :

Déplacements : translation, rotation
Antidéplacements : symétrie axiale, symétrie glissée

🧩 Exercice de Synthèse

Problème : Soit f la similitude de rapport 2, de centre O(0,0), d’angle π/3. Donner son expression analytique.

Solution :

f(x,y) = (2x cos(π/3) – 2y sin(π/3), 2x sin(π/3) + 2y cos(π/3))

= (x – √3 y, √3 x + y)

🎓 Astuce Mnémotechnique

Pour les rotations : « Cosinus en diagonale, sinus avec signes opposés » 🧠

Pour les similitudes : « Rapport pour les distances, carré du rapport pour les aires »

Les transformations sont les mouvements qui structurent notre espace géométrique !