🧭 Introduction aux vecteurs
Les vecteurs sont des objets mathématiques qui possèdent à la fois une direction, un sens et une norme (longueur). Ils sont essentiels pour décrire les déplacements et les forces en physique 🚀.
📊 Définition et notation
Un vecteur est noté u ou AB (vecteur allant de A vers B).
Composantes d’un vecteur dans le plan : u(x; y)
Norme d’un vecteur : ||u|| = √(x² + y²)
\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}Exemple : Le vecteur u(3; 4) a pour norme :
\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
➕ Opérations sur les vecteurs
Addition : u(x₁; y₁) + v(x₂; y₂) = w(x₁+x₂; y₁+y₂)
Multiplication par un scalaire : k × u(x; y) = v(kx; ky)
Produit scalaire : u · v = x₁x₂ + y₁y₂
\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2Le produit scalaire nous donne des informations sur l’angle entre les vecteurs :
\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta) où θ est l’angle entre les deux vecteurs.
📈 Équations de droites dans le plan
Une droite peut être définie de plusieurs manières :
Forme réduite : y = mx + p où m est la pente et p l’ordonnée à l’origine
Forme cartésienne : ax + by + c = 0
Forme vectorielle : M = A + t×u où u est un vecteur directeur
Exemple : Trouver l’équation de la droite passant par A(1; 2) et B(3; 6)
Vecteur directeur u = AB(2; 4)
Pente m = (6-2)/(3-1) = 4/2 = 2
Équation : y = 2x + p
On utilise A(1; 2) : 2 = 2×1 + p donc p = 0
Équation finale : y = 2x
🌐 Géométrie dans l’espace
En géométrie spatiale, nous travaillons avec trois dimensions. Les points ont trois coordonnées (x; y; z).
Un plan dans l’espace peut être défini par :
- Trois points non alignés
- Un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires
- Une équation cartésienne : ax + by + cz + d = 0
Exemple : Le plan d’équation 2x + 3y – z + 1 = 0
Un vecteur normal à ce plan est n(2; 3; -1)
📏 Distance entre deux points dans l’espace
La distance entre A(x₁; y₁; z₁) et B(x₂; y₂; z₂) est :
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
Exemple : Distance entre A(1; 2; 3) et B(4; 6; 9) :
AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 36} = \sqrt{61} \approx 7.81
💡 Astuce mnémotechnique
Pour retenir la formule de la distance : « Racine des carrés des différences » 📐
Et pour le produit scalaire : « x₁x₂ + y₁y₂ comme un bon petit calcul symétrique »
N’oubliez pas qu’un vecteur, c’est comme une flèche 🏹 : elle a une direction (où elle pointe), un sens (d’où elle part et où elle va) et une longueur (sa norme).
