🎯 Introduction aux ensembles de nombres

En mathématiques, nous travaillons avec différents ensembles de nombres qui s’emboîtent les uns dans les autres comme des poupées russes 🪆. Comprendre ces ensembles est fondamental pour progresser en algèbre et en analyse.

📊 Les principaux ensembles numériques

L’ensemble le plus vaste que nous étudions au lycée est celui des nombres réels, noté ℝ. Il contient tous les nombres que nous pouvons placer sur une droite graduée.

Les nombres rationnels (ℚ) sont les nombres qui peuvent s’écrire sous forme de fraction a/b où a et b sont des entiers avec b ≠ 0.

Exemples : 2/3, -5/7, 4 (car 4 = 4/1), 0.75 (car 0.75 = 3/4)

Les nombres irrationnels sont les nombres réels qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction. Leur développement décimal est infini et non périodique.

Exemples : π ≈ 3.141592…, √2 ≈ 1.414213…, e ≈ 2.718281…

Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Exemples : 3.14, -2.5, 0.003, 7 (car 7 = 7.0)

🔢 Propriétés des opérations fondamentales

Les opérations arithmétiques obéissent à des propriétés essentielles qu’il faut maîtriser :

Commutativité : a + b = b + a et a × b = b × a

Associativité : (a + b) + c = a + (b + c) et (a × b) × c = a × (b × c)

Distributivité : a × (b + c) = a × b + a × c

Ces propriétés nous permettent de simplifier les calculs et de développer des expressions complexes.

✍️ Calcul littéral et développement

Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres représentant des nombres. Voici les identités remarquables essentielles :

Exemple de développement : (2x + 3)² = (2x)² + 2×2x×3 + 3² = 4x² + 12x + 9

🎯 Résolution d’équations du premier degré

Une équation du premier degré est de la forme ax + b = 0, avec a ≠ 0.

Méthode de résolution :

1. Isoler le terme en x : ax = -b
2. Diviser par a : x = -b/a

Exemple : Résoudre 3x – 6 = 0

3x = 6 donc x = 6/3 = 2

La solution est x = 2

📈 Résolution d’inéquations

Pour résoudre une inéquation, on suit la même méthode que pour une équation, mais attention au sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif !

Exemple : Résoudre -2x + 4 < 8

-2x < 8 – 4

-2x < 4 x > -2 (on change le sens car on divise par -2)

L’ensemble des solutions est ]-2; +∞[

🧮 Résolution d’équations du second degré

Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0.

On calcule le discriminant : Δ = b² – 4ac

Si Δ > 0, deux solutions réelles :

Si Δ = 0, une solution double : x = \frac{-b}{2a}

Si Δ < 0, aucune solution réelle

Exemple : Résoudre x² – 5x + 6 = 0

Δ = (-5)² – 4×1×6 = 25 – 24 = 1

x₁ = (5 – 1)/2 = 2 et x₂ = (5 + 1)/2 = 3

Les solutions sont x = 2 et x = 3

💡 Astuce mnémotechnique

Pour retenir la formule du discriminant, pensez à : « B² moins 4AC, le Δ qui nous dit la vérité ! » 🎵

Quand Δ est positif : 2 solutions (comme les 2 bras ouverts)

Quand Δ est nul : 1 solution (comme un seul doigt)

Quand Δ est négatif : 0 solution (comme un cercle fermé)