🎯 Introduction aux limites et continuité
L’étude des limites et de la continuité est fondamentale en analyse mathématique. Ces concepts nous permettent de comprendre le comportement des fonctions « aux frontières » de leur domaine de définition 📈.
🧮 Qu’est-ce qu’une limite ?
La limite d’une fonction f(x) quand x tend vers a est la valeur que f(x) approche lorsque x se rapproche de a, sans nécessairement l’atteindre.
Notation : limx→a f(x) = L
Exemple : Soit f(x) = (x² – 1)/(x – 1). Que vaut limx→1 f(x) ?
On ne peut pas calculer f(1) directement car cela donnerait 0/0. Mais on peut simplifier :
f(x) = (x – 1)(x + 1)/(x – 1) = x + 1 pour x ≠ 1
Ainsi, limx→1 f(x) = 1 + 1 = 2
📊 Calculs de limites fondamentaux
Voici les limites essentielles à connaître :
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\inftyExemple : Calculer limx→0 (sin(3x))/(2x)
On utilise la propriété : limx→0 sin(kx)/(kx) = 1
Donc : (sin(3x))/(2x) = (3/2) × (sin(3x))/(3x) → (3/2) × 1 = 3/2
🔍 Limites infinies et asymptotes
Quand une fonction tend vers l’infini, elle peut avoir des asymptotes :
- Asymptote verticale : limx→a f(x) = ±∞
- Asymptote horizontale : limx→±∞ f(x) = L
- Asymptote oblique : f(x) – (ax + b) → 0 quand x → ±∞
Exemple : f(x) = (2x² + 1)/(x – 1)
limx→1 f(x) = ∞ → asymptote verticale x = 1
limx→±∞ f(x)/x = 2 → pente de l’asymptote oblique
limx→±∞ [f(x) – 2x] = 2 → équation y = 2x + 2
📈 Continuité d’une fonction
Une fonction f est continue en a si :
- f(a) existe
- limx→a f(x) existe
- limx→a f(x) = f(a)
Exemple : f(x) = { x² si x ≤ 1; 2x – 1 si x > 1 }
En x = 1 : f(1) = 1² = 1
limx→1⁻ f(x) = 1² = 1
limx→1⁺ f(x) = 2×1 – 1 = 1
Donc f est continue en 1.
🎯 Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur [a,b] et k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.
Ce théorème est très utile pour prouver l’existence de solutions d’équations.
Exemple : Montrer que x³ – 3x + 1 = 0 admet une solution dans [0,1]
f(x) = x³ – 3x + 1
f(0) = 1 > 0 et f(1) = -1 < 0
Comme f est continue et change de signe, il existe c ∈ [0,1] tel que f(c) = 0.
💡 Astuce mnémotechnique
Pour retenir les formes indéterminées, pensez à : « ∞/∞, 0/0, ∞ – ∞, 0×∞, 1∞, ∞⁰, 0⁰ » 🎯
Et pour la continuité : « La fonction ne lève pas le crayon ! » ✏️
