🎯 Applications pratiques des dérivées

Les dérivées ne sont pas que des concepts abstraits ! Elles nous permettent de résoudre des problèmes concrets d’optimisation et d’analyse de situations réelles 🔧.

🧮 Problèmes d’optimisation

L’optimisation consiste à trouver le maximum ou le minimum d’une fonction dans un contexte donné.

Méthode générale :

1. Définir la fonction objectif à optimiser
2. Exprimer cette fonction en une seule variable
3. Calculer la dérivée et trouver les points critiques
4. Vérifier la nature des points critiques (maximum/minimum)
5. Conclure dans le contexte du problème

Exemple : On veut construire une boîte rectangulaire sans couvercle avec 12 m² de carton. Quelles dimensions maximisent le volume ?

Soient x, y les dimensions de la base et z la hauteur.

Surface : xy + 2xz + 2yz = 12

Volume : V = xyz

De la contrainte de surface, on tire : z = \frac{12 - xy}{2x + 2y}

En étudiant cette fonction, on trouve le maximum pour x = y = 2, z = 1

Volume maximal : 4 m³

🚀 Applications physiques : trajectoires

En physique, les dérivées modélisent les mouvements :

• Position : x(t)
• Vitesse : v(t) = x'(t)
• Accélération : a(t) = v'(t) = x''(t)

Exemple : Une balle est lancée verticalement avec x(t) = -5t^2 + 20t (x en mètres, t en secondes)

Vitesse : v(t) = x'(t) = -10t + 20

Accélération : a(t) = v'(t) = -10 \text{m/s}^2 (gravité)

Hauteur maximale quand v(t) = 0 \rightarrow -10t + 20 = 0 \rightarrow t = 2s

💰 Applications économiques

En économie, les dérivées aident à optimiser les bénéfices et minimiser les coûts :

• Coût marginal : dérivée du coût total
• Recette marginale : dérivée de la recette totale
• Bénéfice maximal quand coût marginal = recette marginale

Exemple : Une entreprise a un coût C(x) = 0.1x^2 + 10x + 1000 et une recette R(x) = 50x - 0.2x^2

Bénéfice : B(x) = R(x) - C(x) = -0.3x^2 + 40x - 1000

Bénéfice maximal quand B'(x) = 0 \rightarrow x = \frac{40}{0.6} \approx 66.67 unités

📐 Étude complète d’une fonction

Voici la méthode pour étudier complètement une fonction :

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}

1. Domaine de définition : ℝ{1} (x ≠ 1)

2. Limites aux bornes :

\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty (asymptote verticale x = 1)

3. Dérivée : f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2-4) \times 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x-1)^2}

4. Variations : f'(x) > 0 pour tout x ≠ 1 (toujours croissante)

5. Points remarquables : f(2) = 0, f(-2) = 0

📊 Représentation graphique d’optimisation

Voici un exemple d’optimisation de volume :

🎯 Problème d’optimisation avancé

Problème : Un fermier veut clôturer un champ rectangulaire contre une rivière. Il dispose de 1000 m de clôture. Quelles dimensions maximisent la surface ?

Solution :

Soit x la longueur parallèle à la rivière, y la largeur.

Contrainte : x + 2y = 1000 (un seul côté le long de la rivière)

Surface : S = xy = x\frac{1000 - x}{2} = 500x - \frac{x^2}{2}

Dérivée : S'(x) = 500 - x

Maximum quand S'(x) = 0 \rightarrow x = 500 \text{m}

Alors y = \frac{1000 - 500}{2} = 250 \text{m}

Surface maximale : 500 \times 250 = 125000 \text{m}^2

💡 Astuce mnémotechnique

Pour résoudre un problème d’optimisation : « 1. Comprendre, 2. Modéliser, 3. Dériver, 4. Résoudre, 5. Conclure » 🎯

Et pour les applications physiques : « Dériver la position donne la vitesse, dériver la vitesse donne l’accélération ! » 🚀