🎯 Introduction à la dérivation

La dérivée est un outil puissant qui mesure le taux de variation instantané d’une fonction. C’est comme le compteur de vitesse d’une voiture 🚗 qui indique la vitesse à un instant précis !

🧮 Définition de la dérivée

La dérivée de f en x est définie par :

Cette limite représente la pente de la tangente à la courbe de f au point x.

Exemple : Calculer la dérivée de f(x) = x² en x = 2

f'(2) = lim_h→0 [(2+h)² – 2²]/h = lim_h→0 [4 + 4h + h² – 4]/h = lim_h→0 (4h + h²)/h = lim_h→0 (4 + h) = 4

📚 Règles de dérivation essentielles

Voici les règles fondamentales à maîtriser :

Dérivées de base :

\frac{d}{dx}(c) = 0 (constante)

\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} (puissance)

Règles opératoires :

(ku)' = k u' (k constante)

(uv)' = u'v + uv' (produit)

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (quotient)

(u \circ v)' = (u' \circ v) \times v' (composition)

Exemple : Dériver f(x) = (3x² + 1)e^x

u = 3x² + 1 → u’ = 6x
v = e^x → v’ = e^x
f'(x) = u’v + uv’ = 6xe^x + (3x² + 1)e^x = (3x² + 6x + 1)e^x

📈 Variations et extrema

La dérivée nous renseigne sur les variations d’une fonction :

• Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante
• Si f'(x) < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante
• Si f'(x) = 0, alors f a un extremum local (maximum ou minimum)

Exemple : Étudier les variations de f(x) = x³ – 3x

f'(x) = 3x² – 3 = 3(x² – 1) = 3(x – 1)(x + 1)

Tableau de signes :

• x ∈ ]-∞,-1[ : f'(x) > 0 → f croissante
• x = -1 : f'(x) = 0 → maximum local
• x ∈ ]-1,1[ : f'(x) < 0 → f décroissante
• x = 1 : f'(x) = 0 → minimum local
• x ∈ ]1,∞[ : f'(x) > 0 → f croissante

📊 Convexité et points d’inflexion

La dérivée seconde f »(x) nous renseigne sur la convexité :

• Si f »(x) > 0, f est convexe (courbe tournée vers le haut)
• Si f »(x) < 0, f est concave (courbe tournée vers le bas)
• Si f »(x) change de signe en a, alors a est un point d’inflexion

Exemple : f(x) = x³ → f'(x) = 3x² → f »(x) = 6x

f »(x) < 0 pour x < 0 (concave) f »(x) > 0 pour x > 0 (convexe)
x = 0 est un point d’inflexion

🎯 Représentation graphique des dérivées

Voici une fonction avec sa dérivée et sa dérivée seconde :

💡 Astuce mnémotechnique

Pour retenir les règles de dérivation : « Dériver, c’est comme conduire : on suit les règles ! » 🚦

Et pour les variations : « Quand la dérivée est positive, la fonction monte ; quand elle est négative, elle descend ! » 📈📉