Séries statistiques à deux variables et représentations graphiques

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Statistiques et traitement des données

Bienvenue dans cette dernière leçon où nous allons explorer les relations entre deux variables ! 🔗 Cette compétence est cruciale pour comprendre les liens qui peuvent exister entre différents phénomènes.

🔗 Introduction aux séries doubles

Jusqu’à présent, nous avons étudié une seule variable à la fois. Maintenant, nous allons examiner deux variables simultanément pour voir si elles sont liées.

Exemples de situations réelles :

Le lien entre le budget publicitaire et les ventes
La relation entre le temps d’étude et les notes
La corrélation entre température et consommation d’énergie

📊 Le nuage de points

C’est la représentation graphique fondamentale pour deux variables quantitatives. Chaque point représente un individu avec ses deux caractéristiques.

Prenons l’exemple d’une étude sur le lien entre le temps de révision et la note à un examen :

Élève	Temps (h)	Note/20
A	2	8
B	5	12
C	8	14
D	10	16
E	12	17
F	15	19

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📈 Le point moyen

Le point moyen G a pour coordonnées les moyennes des deux variables :

$G(\bar{x}, \bar{y})$

Dans notre exemple :

$\bar{x} = \frac{2+5+8+10+12+15}{6} = 8,67$

$\bar{y} = \frac{8+12+14+16+17+19}{6} = 14,33$

Ajoutons ce point sur notre graphique :

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📏 La covariance

La covariance mesure la façon dont deux variables varient ensemble :

$\text{Cov}(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

Calculons-la pour notre exemple :

xi	yi	xi-¯x	yi-¯y	Produit
2	8	-6,67	-6,33	42,22
5	12	-3,67	-2,33	8,55
8	14	-0,67	-0,33	0,22
10	16	1,33	1,67	2,22
12	17	3,33	2,67	8,89
15	19	6,33	4,67	29,56
Somme				91,66

$\text{Cov}(x,y) = \frac{91,66}{6} = 15,28$

📊 Le coefficient de corrélation

Plus utile que la covariance, le coefficient de corrélation de Pearson est standardisé entre -1 et 1 :

$r = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}$

Calculons d’abord les écarts-types :

$\sigma_x = 4,32$

$\sigma_y = 3,72$

Maintenant le coefficient :

$r = \frac{15,28}{4,32 \times 3,72} = \frac{15,28}{16,07} = 0,95$

Une valeur de 0,95 indique une corrélation positive très forte !

📐 La droite d’ajustement

Quand les points sont alignés, on peut tracer une droite d’ajustement. Son équation est :

$y = ax + b$

Avec :

$a = \frac{\text{Cov}(x,y)}{V(x)}$

$b = \bar{y} - a\bar{x}$

Dans notre exemple :

$a = \frac{15,28}{18,67} = 0,82$

$b = 14,33 - 0,82 \times 8,67 = 7,22$

Donc : y = 0,82x + 7,22

Représentation graphique complète :

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🎯 Interprétation et prédiction

Avec notre droite, on peut faire des prédictions ! Par exemple, pour 7 heures de révision :

$y = 0,82 \times 7 + 7,22 = 12,96$

On peut prédire une note d’environ 13/20.

Attention : Cette prédiction n’est valable que dans la plage de nos données observées.

⚠️ Les pièges à éviter

Corrélation n’est pas causalité : Deux variables peuvent être corrélées sans qu’il y ait de lien de cause à effet
Attention aux valeurs extrêmes : Un point aberrant peut fausser complètement l’analyse
Vérifier la linéarité : La droite d’ajustement n’est valable que si les points sont alignés

💡 Astuce mnémotechnique

Pour interpréter le coefficient de corrélation :

0,8 à 1 : Corrélation forte
0,5 à 0,8 : Corrélation modérée
0 à 0,5 : Corrélation faible
Négatif : Les variables varient en sens inverse

Félicitations ! 🎉 Tu maîtrises maintenant les concepts fondamentaux des statistiques à deux variables. Tu peux organiser, analyser et interpréter des données comme un véritable expert !