Étude des limites de suites

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Suites numériques et limites

🎯 Introduction à la notion de limite

La limite d’une suite décrit son comportement quand n devient très grand (tend vers l’infini). C’est un concept fondamental pour comprendre l’évolution à long terme des suites. 🎢

Quand on dit « n tend vers l’infini », on imagine que n prend des valeurs de plus en plus grandes : 100, 1000, 1000000… et on observe vers quelle valeur uₙ se rapproche.

📈 Les différents types de limites

1. Suite convergente 🎯

Une suite converge vers un nombre réel ℓ si les termes uₙ se rapprochent de plus en plus de ℓ quand n augmente.

Notation : $lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$

Exemple : uₙ = 1 + 1/n

u₁ = 2
u₁₀ = 1.1
u₁₀₀ = 1.01
u₁₀₀₀ = 1.001

La suite converge vers 1.

2. Suite divergente vers +∞ 🚀

Une suite diverge vers +∞ si les termes uₙ deviennent arbitrairement grands.

Notation : $lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Exemple : uₙ = n²

u₁₀ = 100
u₁₀₀ = 10000
u₁₀₀₀ = 1000000

3. Suite divergente vers -∞ 📉

Une suite diverge vers -∞ si les termes uₙ deviennent arbitrairement petits (négatifs avec de grandes valeurs absolues).

Exemple : uₙ = -n

4. Suite qui ne possède pas de limite 🎭

Certaines suites n’ont pas de limite, comme uₙ = (-1)ⁿ qui alterne entre -1 et 1.

🔍 Méthodes pour déterminer une limite

Méthode 1 : Observation des premiers termes 👀

On calcule quelques termes pour se faire une intuition :

uₙ = (2n+1)/(n+3)

u₁₀ = 21/13 ≈ 1.615
u₁₀₀ = 201/103 ≈ 1.951
u₁₀₀₀ = 2001/1003 ≈ 1.995
La suite semble converger vers 2

Méthode 2 : Transformation algébrique 🧮

Pour uₙ = (2n+1)/(n+3), on factorise par n au numérateur et dénominateur :

$u_n = \frac{n(2 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}}$

Quand n → +∞, 1/n → 0 et 3/n → 0, donc :

$lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2$

📊 Représentation graphique des limites

Voici différents comportements de suites :

Rendered by QuickLaTeX.com

🎯 Règles de calcul des limites

Limites des suites usuelles

$lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
$lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$
$lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$
$lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$ (pour k > 0)

Opérations sur les limites

Si $lim u_n = \ell$ et $lim v_n = \ell'$ :

$lim (u_n + v_n) = \ell + \ell'$
$lim (u_n × v_n) = \ell × \ell'$
$lim (\frac{u_n}{v_n}) = \frac{\ell}{\ell'}$ (si ℓ’ ≠ 0)

💡 Cas particuliers importants

Limite des suites géométriques

Pour uₙ = qⁿ :

Si |q| < 1, alors $lim q^n = 0$
Si q = 1, alors $lim 1^n = 1$
Si q > 1, alors $lim q^n = +\infty$
Si q ≤ -1, la suite n’a pas de limite

Théorème des gendarmes 🚔

Si pour tout n, vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et si vₙ et wₙ convergent vers la même limite ℓ, alors uₙ converge aussi vers ℓ.

Exemple : uₙ = sin(n)/n

On a -1/n ≤ uₙ ≤ 1/n et ±1/n → 0, donc uₙ → 0.

🌍 Applications concrètes des limites

Dosage médicamenteux 💊

Un patient prend 200mg d’un médicament chaque jour. Son corps élimine 30% du médicament présent chaque jour.

Modèle : Mₙ₊₁ = 0.7×Mₙ + 200

Point fixe : ℓ = 200/(1-0.7) ≈ 666.67 mg

La concentration tend vers environ 667 mg.

Apprentissage 📚

Le nombre de mots qu’un étudiant peut mémoriser suit uₙ₊₁ = 0.8×uₙ + 50.

Limite : ℓ = 50/(1-0.8) = 250 mots

🧠 Règles mnémotechniques

« PETIT SUR GRAND TEND VERS ZÉRO » ➗

Quand le numérateur est borné et le dénominateur tend vers l’infini, la limite est 0.

« QUAND C’EST COMPLIQUÉ, FACTORISE PAR LE PLUS GRAND TERME » 🎯

Pour les fractions rationnelles, on factorise toujours par la plus grande puissance de n.

⚠️ Pièges à éviter

Ne pas conclure trop vite en regardant seulement les premiers termes
Vérifier les conditions d’application des théorèmes
Attention aux formes indéterminées : ∞-∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0

La notion de limite est fondamentale pour comprendre le comportement à long terme des suites et modéliser de nombreux phénomènes réels ! 🌟